6.8: Óptica de Fourier

En esta sección aplicamos teoría de difracción a una lente. Consideramos en particular el enfoque de un haz paralelo y la imagen de un objeto.

6.8.1 Enfoque de un haz paralelo

Una lente induce un cambio de fase local a un campo incidente que es proporcional a su grosor local. Deje que una onda plana que se propaga paralela al eje óptico sea incidente sobre la lente. Según la óptica geométrica gaussiana, los rayos incidentes son paralelos al eje óptico y todos están enfocados en el punto focal. Según el Principio de Fermat, todos los rayos han recorrido la misma distancia óptica cuando se cruzan en el punto focal donde se produce la interferencia constructiva y la intensidad es máxima. En la región focal, los frentes de onda son esferas con centro el punto focal que son cortadas por el cono con el punto focal como ángulo superior y de apertura\(2 a / f\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Detrás del punto focal, hay un segundo cono donde nuevamente hay frentes de onda esféricos, pero ahí la luz, por supuesto, se está propagando alejándose del punto focal. Según la óptica geométrica gaussiana se encuentra en el espacio de imagen completamente oscuro fuera de los dos conos de la Figura\(\PageIndex{1}\). Sin embargo, como mostraremos, en la óptica de difracción esto no es cierto.

Suponemos que la lente es delgada y elegimos como origen del sistema de coordenadas el centro de la lente delgada con el\(z\) eje positivo a lo largo del eje óptico. Dejar\(f\) ser la distancia focal según la óptica geométrica gaussiana. Entonces\((0,0, f)\) es el punto focal. Dejar\((x, y, z)\) ser un punto entre la lente y el punto focal. Según la óptica geométrica el campo en\((x, y, z)\) es\[\begin{array}{cc} \frac{e^{-i k \sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-f)^{2}}-i \omega t}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-f)^{2}}}, & \text { if }(x, y, z) \text { is inside the cone, } \\ 0, & \text { if }(x, y, z) \text { is outside the cone, } \end{array} \nonumber \] donde hemos incluido la dependencia del tiempo. De hecho las superficies de fase constante:\[-\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-f)^{2}}-\omega t=\text { constant, } \nonumber \] son esferas con centro el punto focal que para aumentar el tiempo convergen al punto focal, mientras que la amplitud del campo aumenta en proporción al recíproco de la distancia al punto focal para que se conserve la energía.

Observación. Para un punto\((x, y, z)\) a la derecha del punto focal, los frentes de onda esférica se propagan alejándose del punto focal y por lo tanto para\(z>f,-i k\) deben ser reemplazados por\(+i k\) en el exponente en\(\PageIndex{1}\).

La pupila de salida de la lente está en el plano\(z=0\) donde según (\(\PageIndex{1}\)) el campo es\[1_{\odot_{a}}(x, y) \frac{e^{-i k \sqrt{x^{2}+y^{2}+f^{2}}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+f^{2}}}, \nonumber \] donde se ha omitido la dependencia del tiempo y\(1_{\odot_{a}}(x, y)=\)\ begin {cases} 1 &\ text {if} x^ {2} +y^ {2} <a^ {2},\\ 0 &\ text {de lo contrario}\ end {cases} i.e. \(1_{\odot_{a}}(x, y)=1\)para\((x, y)\) en la pupila de salida de la lente y de\(=0\) otra manera.

En óptica de difracción calculamos el campo en la región focal usando integrales de difracción en lugar de usar trazado de rayos. De ahí que la modificación introducida por la óptica de difracción se deba a la propagación más precisa del campo desde la pupila de salida hasta la región focal.

Si\(a / f\) es suficientemente pequeño, podemos sustituir la distancia\(\sqrt{x^{2}+y^{2}+f^{2}}\) entre un punto en la pupila de salida y el punto focal en el denominador de (\(\PageIndex{2}\)) por\(f\). Esto no está permitido en el exponente, sin embargo, debido a la multiplicación por el gran número de onda\(k\). En el exponente, por lo tanto, utilizamos en su lugar los dos primeros términos de la serie Taylor, 6.5.4:\[\sqrt{x^{2}+y^{2}+f^{2}}=f \sqrt{1+\frac{x^{2}+y^{2}}{f^{2}}} \approx f+\frac{x^{2}+y^{2}}{2 f}, \nonumber \] que es válido para\(a / f\) suficientemente pequeños. Entonces (\(\PageIndex{2}\)) se convierte:\[1 \odot_{a}(x, y) e^{-i k \frac{x^{2}+y^{2}}{2 f}}, \nonumber \] donde bajamos los factores constantes\(e^{i k f}\) y\(1 / f\). Para un campo incidente general\(U_{0}(x, y)\) en la pupila de entrada, la lente aplica una transformación tal que el campo en el plano de salida se convierte en:\[U_{0}(x, y) \rightarrow U_{0}(x, y) 1_{\odot_{a}}(x, y) e^{-i k \frac{x^{2}+y^{2}}{2 f}}, \nonumber \] transformación aplicada por una lente entre su plano de entrada y salida.

La función que se multiplica\(U_{0}(x, y)\) es la función de transmisión de la lente:\[\tau_{lens }(x, y)=1\odot_{a}(x, y) e^{-i k \frac{x^{2}+y^{2}}{2 f}} . \nonumber \]

Este resultado tiene sentido: en el centro\((x, y)=0\) la lente es más gruesa, por lo que la fase es la que más se desplaza (pero podemos definir este desplazamiento de fase para que sea cero porque solo importan las diferencias de fase, no la fase absoluta). Como lo indica el signo menos en el exponente, cuanto más te alejas del centro de la lente, menos se desplaza la fase. Para abreviar\(f\), la lente enfoca más fuertemente, por lo que el desplazamiento de fase cambia más rápidamente en función de la coordenada radial. Tenga en cuenta que la función de transmisión (\(\PageIndex{7}\)) tiene módulo 1 para que se conserve la energía. Utilizamos la integral de difracción de Fresnel (6.5.6) para propagar el campo (\(\PageIndex{6}\)) a la región focal:\[U(x, y, z)=\frac{e^{i k z} e^{\frac{i k\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2 z}}}{i \lambda z} \mathcal{F}\left\{U_{0}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) 1\odot_{a}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) e^{i k \frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{f}\right)\right\}\left(\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}\right) . \nonumber \]

La intensidad\(I=|U|^{2}\) se muestra en la parte inferior izquierda de la Figura\(\PageIndex{1}\). Se observa que la intensidad no aumenta monótonamente para disminuir la distancia al punto focal. En cambio, los máximos secundarios se ven a lo largo del eje óptico. También el límite del cono de luz no es agudo, como lo predice la óptica geométrica, sino difuso. La parte inferior derecha de la Figura\(\PageIndex{1}\) muestra la fase en la región focal. Los frentes de onda están cerca pero no exactamente esféricos dentro de los conos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Arriba: frentes de onda de la onda plana incidente y el campo enfocado según óptica geométrica gaussiana. No hay luz fuera de los dos conos. Abajo a la izquierda: amplitud predicha por la óptica de difracción. El límite de los conos es difuso y no es absolutamente oscuro fuera de los conos. Además, la intensidad no aumenta monótonamente con la disminución de la distancia al punto focal, como lo predice la óptica geométrica. Abajo a la derecha: fase del campo enfocado según lo predicho por la óptica de difracción.

Para puntos en el plano focal posterior de la lente, es decir\(z=f\), tenemos\[U(x, y, f)=\frac{e^{i k f} e^{\frac{i k\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2 f}}}{i \lambda f} \mathcal{F}\left\{U_{0}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) 1\odot_{a}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right\}\left(\frac{x}{\lambda f}, \frac{y}{\lambda f}\right), \nonumber \] que es lo mismo que el integral Fraunhofer! Así, el campo en el plano focal según la óptica geométrica gaussiana es en óptica de difracción idéntico al campo lejano del campo en la pupila de entrada de la lente, o por decirlo de otra manera:

El campo en la pupila de entrada de la lente y el campo en el plano focal están relacionados por una transformada de Fourier (aparte de un factor de fase cuadrático frente a la integral).

Se puede demostrar que los campos en el plano focal frontal\(U(x, y,-f)\) y el plano focal posterior\(U(x, y, f)\) están relacionados exactamente por una transformada de Fourier, es decir, sin el factor de fase cuadrático adicional.

Entonces una lente realiza una transformada de Fourier. Veamos si eso concuerda con algunos de los hechos que conocemos de la óptica geométrica.

1. Sabemos por la óptica geométrica gaussiana que si iluminamos una lente con rayos paralelos al eje óptico, todos estos rayos se cruzan en el punto focal. Esto corresponde con el hecho de que para\(U_{0}(x, y)=1\) (es decir, iluminación de onda plana, descuidando la apertura finita de la lente, es decir, descuidar los efectos de difracción debido al tamaño finito de la pupila), su transformada de Fourier es un pico delta:

\[\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)=\delta\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}\right) \delta\left(\frac{k_{y}}{2 \pi}\right), \nonumber \]que representa el punto enfocado perfecto (sin difracción).

2. Si en la óptica geométrica gaussiana iluminamos una lente con rayos de luz paralelos inclinados (una onda plana que se propaga en dirección oblicua), entonces el punto en el plano focal posterior donde se cruzan los rayos se desplaza lateralmente. Una onda plana inclinada se describe por\(U_{0}(\mathbf{r})=\)\(\exp \left(i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}\right)\), y su transformada de Fourier con respecto a\((x, y)\) viene dada por

\[\mathcal{F}\left\{U_{0}\right\}\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}, z\right)=\delta\left(\frac{k_{x}-k_{0, x}}{2 \pi}\right) \delta\left(\frac{k_{y}-k_{0, y}}{2 \pi}\right), \nonumber \]que es de hecho un pico delta desplazado (es decir, un punto focal desplazado).

Parece que el modelo de difracción de luz confirma lo que sabemos de la óptica geométrica. Pero en los dos ejemplos anteriores descartamos la influencia del tamaño finito de la pupila, es decir, hemos dejado fuera de consideración la función\(1_{\odot_{a}}\) en el cálculo de la transformada de Fourier. Si\(U_{0}(x, y)=1\) en la pupila de entrada y tomamos debidamente en cuenta el tamaño finito de la pupila, los\(\delta\) -picos se vuelven borrosos: el campo enfocado viene dado entonces por la transformada de Fourier del disco circular con radio\(a\). evaluado a frecuencias espaciales \(\xi=\frac{x}{\lambda f}, \eta=\frac{y}{\lambda f}\). Este campo se llama el punto Airy y viene dado por (Ver Apéndice E.17):\[U(x, y, z)=\frac{\pi a^{2}}{\lambda f} \frac{2 J_{1}\left(2 \pi \frac{a}{\lambda f} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\frac{2 \pi a}{\lambda f} \sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad \text { Airy pattern for focusing, } \nonumber \] donde hemos omitido los factores de fase frente a la transformada de Fourier. El patrón se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Es simétrico circular y consiste en un máximo central rodeado por anillos concéntricos de ceros alternos y máximos secundarios con amplitudes rápidamente decrecientes. En sección transversal, como función de\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\), el patrón Airy es muy similar (pero no idéntico) a la función sinc-. Del principio de incertidumbre mostrado en la Figura 6.5.3 se deduce que el tamaño del punto focal disminuye a medida que\(a\) aumenta, y de (\(\PageIndex{11}\)) vemos que la función Airy es una función de la variable adimensional\(a r /(\lambda f)\). De ahí que el punto focal se vuelva más estrecho a medida que\(a /(\lambda f)\) aumenta. La apertura numérica\((N A)\) se define por\[\mathrm{NA}=\frac{a}{f}, \quad \text { numerical aperture. } \nonumber \]

Dado que el primer cero del patrón Airy ocurre para\(2 \operatorname{ar} /(\lambda f)=1.22\), el tamaño del punto focal se puede estimar como\[Size\space of\space focal\space spot ≈ 0.6\frac{\lambda}{NA} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Izquierda: sección transversal del campo del patrón Airy. Derecha: patrón de intensidad del patrón Airy.

6.8.2 Imagenología mediante una lente

De las derivaciones de la sección anterior se deduce que el patrón Airy es la imagen de una fuente puntual infinitamente lejos frente a una lente. En esta sección se estudia la imagen de un objeto general. Considera primero un objeto puntual\(z=s_{o}<0\) delante de una lente con distancia focal\(f>0\). El campo en el espacio de imagen se deriva de manera similar al campo enfocado en la sección anterior. Postulamos que la lente transforma el campo irradiado por el objeto puntual en una onda esférica en la pupila de salida, que converge al punto de imagen ideal de la óptica geométrica gaussiana. Si propagamos este campo esférico en la pupila de salida al plano de imagen usando la integral de difracción de Fresnel, entonces para un punto objeto en el eje óptico encontramos el mismo patrón Airy que antes y como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\), excepto que la variable\(a r /(\lambda f)\) debe ser reemplazada por \[\frac{a r}{\lambda s_{i}} \nonumber \]donde\(s_{i}\) está la posición de la imagen dada por la Ley de Lente. Este campo se llama Función de dispersión de puntos (PSF para abreviar). Por lo tanto,\[\operatorname{PSF}(x, y)=\frac{\pi a^{2}}{\lambda s_{i}} \frac{J_{1}\left(2 \pi \frac{a}{\lambda s_{i}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\frac{2 \pi a}{\lambda s_{i}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad \text { Airy pattern for imaging. } \nonumber \]

Para los puntos de objeto que no están en el eje óptico, el PSF se traduce de tal manera que se centra en el punto de imagen gaussiana ideal.

Por lo general asumimos que conocemos el campo transmitido o reflejado por un objeto en el llamado plano del objeto, que es el plano inmediatamente detrás del objeto (en el lado de la lente). El plano del objeto es discretizado por un conjunto de puntos y se supone que las imágenes de estos puntos están dadas por versiones traducidas de la PSF:\[\operatorname{PSF}\left(x-x_{i}, y-y_{i}\right) \nonumber \] donde\(\left(x_{i}, y_{i}\right)\) están las coordenadas transversales del punto de imagen de acuerdo con la óptica geométrica gaussiana.

El campo de imagen total se obtiene sumando (integrando) sobre estas PSF, ponderadas por el campo en los puntos del objeto:\[U_{i}\left(x, y, s_{i}\right)=\iint \operatorname{PSF}\left(x-M x_{o}, x-M y_{o}\right) U_{o}\left(x_{o}, y_{o}, s_{o}\right) \mathrm{d} x_{o} \mathrm{~d} y_{o} . \nonumber \] donde\(x_{o}=x_{i} / M, y_{o}=y_{i} / M\) está el punto de imagen y\(M\) es la ampliación. Si el aumento es unidad, el campo de imagen es una convolución entre el PSF y el campo objeto. Si la ampliación difiere de la unidad, la integral se puede convertir en una convolución reescalando las coordenadas en el espacio de la imagen.

Está claro a partir de\(\PageIndex{15}\) que un radio mayor\(a\) de la lente y una longitud de onda más pequeña\(\lambda\) implican una PSF más estrecha. Esto a su vez implica que el núcleo en la convolución tiene un pico más brusco y de ahí que la resolución de la imagen sea mayor.

Observaciones

1. Si se utiliza luz láser para iluminar el objeto, el campo del objeto en general puede considerarse perfectamente coherente. Esto implica que un detector en el plano de la imagen mediría el módulo cuadrado del campo complejo (\(\PageIndex{16}\)):\[I_{i}\left(x, y, s_{i}\right)=\left|\iint \operatorname{PSF}\left(x-M x_{o}, y-M y_{o}\right) U_{o}\left(x_{o}, y_{o}, s_{o}\right) \mathrm{d} x_{o} \mathrm{~d} y_{o}\right|^{2} . \nonumber \]

En este caso el sistema se denomina sistema de imagen coherente.

2. Si el objeto es una fuente espacialmente completamente incoherente, las imágenes de las fuentes puntuales en las que consiste la fuente (objeto) no pueden interferir en el plano de la imagen. Por lo tanto, en este caso la intensidad en el plano de la imagen viene dada por la suma incoherente:\[I_{i}\left(x, y, s_{i}\right)=\iint\left|\operatorname{PSF}\left(x-M x_{o}, y-M x_{o}\right)\right|^{2} I_{o}\left(x_{o}, y_{o}, s_{o}\right) \mathrm{d} x_{o} \mathrm{~d} y_{o}, \nonumber \] donde\(I_{o}=\left|U_{o}\right|^{2}\) está la intensidad del objeto. De ahí que la intensidad de la imagen se exprese en la intensidad del objeto por una convolución con la intensidad del PSF. Este sistema se denomina sistema de imágenes incoherentes.

3. Un objeto a menudo es iluminado por una fuente de luz espacialmente incoherente y luego se obtiene una imagen. El campo reflejado o transmitido por el objeto es entonces parcialmente coherente. Hemos demostrado en el Capítulo 5 que el grado de coherencia mutua en el objeto aumenta cuando se incrementa la distancia entre la fuente y el objeto. La intensidad detectada en el plano de imagen puede calcularse dividiendo la fuente espacialmente incoherente en fuentes puntuales suficientemente incoherentes entre sí y considerando los campos en el plano de imagen debido a la iluminación de cada fuente puntual individual. La intensidad total en el plano de la imagen es entonces la suma de las intensidades individuales.

6.8.3 Moduladores de luz espacial y filtrado óptico de Fourier

• SLM. El campo en la pupila de entrada de una lente puede ser cambiado espacialmente por un denominado modulador de luz espacial (SLM). Un SLM tiene miles de píxeles mediante los cuales se pueden hacer campos muy generales. Mediante la aplicación de tres SLM en serie, se puede ajustar la polarización, la fase y la amplitud píxel a píxel y, por lo tanto, se pueden realizar campos de pupila muy deseados que después del enfoque, pueden dar campos enfocados muy especiales. Un ejemplo es un campo eléctrico con solo un componente longitudinal (es decir, solo un\(E_{z}\) componente) en el punto focal.
• Filtrado de Fourier. Supongamos que tenemos la configuración como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). Con una lente podemos crear la transformada de Fourier de algún campo\(U(x, y)\). Si se pone una máscara en el plano focal y se usa una segunda lente para reenfocar la luz, se obtiene la transformada inversa de Fourier del campo después de la máscara. Este procedimiento se denomina filtrado de Fourier usando lentes. El filtrado de Fourier significa que la amplitud y/o fase de las ondas planas en el espectro angular del campo son manipuladas. Una aplicación de esta idea es el microscopio de contraste de fases.

Figura\(\PageIndex{3}\): Configuración para filtrado de Fourier. La primera lente crea una transformada de Fourier de\(U(x, y)\), a la que podemos aplicar alguna operación (por ejemplo, aplicar diferentes desplazamientos de fase a diferentes partes del campo). La segunda lente aplica entonces otra transformada de Fourier (que es la misma que la transformada inversa de Fourier y una transformación especular).