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# 4.2: Solución

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Vamos a aplicar las ecMm en secuencia.

1. $$\epsilon_{g e n} \nabla \cdot \mathbf{E}=0$$, pero si $$\epsilon_{g e n} \neq 0$$ (que es el caso que vamos a considerar en todo lo sucesivo) entonces se tiene $$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$$. Lo aplicamos al campo de onda plana de la sección anterior y obtenemos

$\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}=0 \notag$

2. La siguiente ecuación es lo mismo que decir $$\nabla \cdot \mathbf{H}=0$$, y por lo tanto,

$\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{H}_{0}=0 \notag$

3. Un rotacional da

$\mathbf{H}_{0}=\frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0} \notag$

4. $$\mathrm{Y}$$ el otro:

$\mathbf{E}_{0}=-\frac{1}{\epsilon_{g e n} \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{H}_{0} \notag$

Ahora sólo tenemos que leer las ecuaciones. Esta va a ser la estrategia para afrontar todos los problemas de propagación del curso. Combinando las (3) y (4):

\begin{aligned} \mathbf{E}_{0} &=-\frac{1}{\epsilon_{g e n} \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0} \\ &=-\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}}\left(\mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0}\right) \\ &=-\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}}\left[\mathbf{k}_{c}\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{k}_{c}\right)\right] \\ &=\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}} \mathbf{E}_{0} \mathbf{k}_{c}^{2} \end{aligned}

de donde

$\mathbf{k}_{c}^{2}=\omega^{2} \mu \epsilon_{g e n}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n_{c}^{2} \notag$

esto se utiliza más habitualmente en la forma

$n_{c}^{2}=c^{2} \mu \epsilon_{g e n}=\frac{\mu \epsilon_{g e n}}{\mu_{0} \epsilon_{0}} \notag$

este parámetro es el indice de refracción complejo. Cuando la constante dieléctrica sea compleja (medios absorbentes) el índice de refracción será complejo. Lo mismo ocurrirá al vector de onda, y ésta es la razón por la que hemos venido usando el subíndice $$c$$.

Descomponemos el vector de onda y el índice de refracción en

\begin{aligned} &\mathbf{k}_{c}=\mathbf{k}+i \mathbf{a} \\ &n_{c}=n+i \kappa \end{aligned}

con $$\mathbf{k}, \mathbf{a}, n, \kappa$$ cantidades reales, que reciben los nombres respectivos de vector de ondas, vector de atenuación, indice de refracción e indice de absorción. Entonces la expresión de la oap es

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}_{0} e^{-\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \notag$

La constante $$\mathbf{E}_{0} e^{-\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}}$$ disminuye con la propagación, y tanto más cuanto mayor es el vector de atenuación a. Las partes imaginarias del vector de onda y del índice de refracción vienen de las pérdidas por fricción en el proceso de absorción-reemisión.

De la relación

$\mathbf{k}_{c}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n_{c}^{2} \notag$

\begin{aligned} \mathbf{k}^{2}-\mathbf{a}^{2} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\left(n^{2}-\kappa^{2}\right) \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{a} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n \kappa \end{aligned}

que forman las condiciones que buscábamos.

## Dos comentarios importantes (mucho cuidado)

• No deberíamos llamar ondas planas a

\begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=\mathbf{E}_{0} e^{i\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{r}-\omega t\right)} \\ \mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &=\mathbf{H}_{0} e^{i\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{r}-\omega t\right)} \end{aligned}

porque no lo son (en general $$\mathbf{k}$$ y a no son paralelos y por lo tanto, $$\mathbf{E} \neq \mathbf{E}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}, t))$$. Deberíamos llamarlas ondas planas inhomogéneas: los planos de amplitud constante no coinciden con los planos de fase constante. Por lo tanto, cuando las llamemos oap, estamos abusando del lenguaje (y lo haremos).

• A partir de las estructura de la onda que hemos encontrado al principio del capítulo, es tentador pensar que $$\left(\mathbf{E}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{k}_{c}\right)$$ forman un triedro ortogonal. No es así, ya que intervienen vectores complejos (v. ejercicio 18).

4.2: Solución is shared under a CC BY-SA 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.