4.2: Solución
Vamos a aplicar las ecMm en secuencia.
1. \(\epsilon_{g e n} \nabla \cdot \mathbf{E}=0\), pero si \(\epsilon_{g e n} \neq 0\) (que es el caso que vamos a considerar en todo lo sucesivo) entonces se tiene \(\nabla \cdot \mathbf{E}=0\). Lo aplicamos al campo de onda plana de la sección anterior y obtenemos
\[
\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}=0 \notag
\]
2. La siguiente ecuación es lo mismo que decir \(\nabla \cdot \mathbf{H}=0\), y por lo tanto,
\[
\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{H}_{0}=0 \notag
\]
3. Un rotacional da
\[
\mathbf{H}_{0}=\frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0} \notag
\]
4. \(\mathrm{Y}\) el otro:
\[
\mathbf{E}_{0}=-\frac{1}{\epsilon_{g e n} \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{H}_{0} \notag
\]
Ahora sólo tenemos que leer las ecuaciones. Esta va a ser la estrategia para afrontar todos los problemas de propagación del curso. Combinando las (3) y (4):
\[
\begin{aligned}
\mathbf{E}_{0} &=-\frac{1}{\epsilon_{g e n} \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \frac{1}{\mu \omega} \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0} \\
&=-\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}}\left(\mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{k}_{c} \wedge \mathbf{E}_{0}\right) \\
&=-\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}}\left[\mathbf{k}_{c}\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{k}_{c}\right)\right] \\
&=\frac{1}{\mu \epsilon_{g e n} \omega^{2}} \mathbf{E}_{0} \mathbf{k}_{c}^{2}
\end{aligned}
\]
de donde
\[
\mathbf{k}_{c}^{2}=\omega^{2} \mu \epsilon_{g e n}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n_{c}^{2} \notag
\]
esto se utiliza más habitualmente en la forma
\[
n_{c}^{2}=c^{2} \mu \epsilon_{g e n}=\frac{\mu \epsilon_{g e n}}{\mu_{0} \epsilon_{0}} \notag
\]
este parámetro es el indice de refracción complejo. Cuando la constante dieléctrica sea compleja (medios absorbentes) el índice de refracción será complejo. Lo mismo ocurrirá al vector de onda, y ésta es la razón por la que hemos venido usando el subíndice \(c\).
Descomponemos el vector de onda y el índice de refracción en
\[
\begin{aligned}
&\mathbf{k}_{c}=\mathbf{k}+i \mathbf{a} \\
&n_{c}=n+i \kappa
\end{aligned}
\]
con \(\mathbf{k}, \mathbf{a}, n, \kappa\) cantidades reales, que reciben los nombres respectivos de vector de ondas, vector de atenuación, indice de refracción e indice de absorción. Entonces la expresión de la oap es
\[
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}_{0} e^{-\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \notag
\]
La constante \(\mathbf{E}_{0} e^{-\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}}\) disminuye con la propagación, y tanto más cuanto mayor es el vector de atenuación a. Las partes imaginarias del vector de onda y del índice de refracción vienen de las pérdidas por fricción en el proceso de absorción-reemisión.
De la relación
\[
\mathbf{k}_{c}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n_{c}^{2} \notag
\]
se pasa fácilmente (raíz cuadrada compleja) a
\[
\begin{aligned}
\mathbf{k}^{2}-\mathbf{a}^{2} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\left(n^{2}-\kappa^{2}\right) \\
\mathbf{k} \cdot \mathbf{a} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n \kappa
\end{aligned}
\]
que forman las condiciones que buscábamos.
Dos comentarios importantes (mucho cuidado)
- No deberíamos llamar ondas planas a
\[
\begin{aligned}
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=\mathbf{E}_{0} e^{i\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{r}-\omega t\right)} \\
\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &=\mathbf{H}_{0} e^{i\left(\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{r}-\omega t\right)}
\end{aligned}
\]
porque no lo son (en general \(\mathbf{k}\) y a no son paralelos y por lo tanto, \(\mathbf{E} \neq \mathbf{E}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}, t))\). Deberíamos llamarlas ondas planas inhomogéneas: los planos de amplitud constante no coinciden con los planos de fase constante. Por lo tanto, cuando las llamemos oap, estamos abusando del lenguaje (y lo haremos).
- A partir de las estructura de la onda que hemos encontrado al principio del capítulo, es tentador pensar que \(\left(\mathbf{E}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{k}_{c}\right)\) forman un triedro ortogonal. No es así, ya que intervienen vectores complejos (v. ejercicio 18).