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7.5.2: Ondas o y \(e\) - fase y polarización

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ondra ordinaria

    Si el vector de ondas está sobre la esfera (sobre el círculo) y no coincide con el eje \(z\) \(\left(k_{y} \neq 0\right)\) entonces cumple \(k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=\left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}\)

    \[
    \left(\begin{array}{ccc}
    \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & 0 & 0 \\
    0 & \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\
    0 & k_{z} k_{y} & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}
    \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
    E_{0 x} \\
    E_{0 y} \\
    E_{0 z}
    \end{array}\right)=0 \notag
    \]

    por la condición de onda ordinaria \(0 \times E_{0 x}=0\), con lo que nos queda como subsistema

    \[
    \left(\begin{array}{cc}
    \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\
    k_{z} k_{y} & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}
    \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
    E_{0 y} \\
    E_{0 z}
    \end{array}\right)=0 \notag
    \]

    la condición necesaria para que tenga solución es que esta submatriz tenga determinante nulo, pero eso es contradictorio, porque equivale a decir que el vector de ondas está sobre el elipsoide (y por hipótesis está sobre la esfera). Por lo tanto se tiene que verificar

    \[
    \begin{array}{r}
    E_{0 y}=E_{0 z}=0 \\
    E_{0 x} \neq 0
    \end{array} \notag
    \]

    En otras palabras:

    • la onda ordinaria está linealmente polarizada, vibrando perpendicularmente al plano que contiene al vector de ondas y al eje óptico.
    • Para la onda ordinaria, \(\mathbf{E}_{0}\) sí es perpendicular a \(\mathbf{k}\) : energía y fase se propagan en la misma dirección. \(\langle\mathbf{S}\rangle \propto \mathbf{k}\).

    Esta onda sólo se distingue de la que atraviesa un medio isótropo en que está obligatoriamente linealmente polarizada del modo descrito.

    Onda extraordinaria

    \[
    \frac{k_{y}^{2}}{\left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}}+\frac{k_{z}^{2}}{\left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}}=1 \notag
    \]

    es la ecuación que la define. Vamos a apartar para más tarde el estudio de la propagación según el eje óptico, por lo que \(k_{y} \neq 0\). Si llevamos la condición para \(\mathbf{k}_{e}\) a la ecuación de autovalores y aprovechando la simetría de revolución, tenemos dos subsistemas (primera fila y últimas dos, respectivamente, de la matriz)

    \[
    \left(\begin{array}{ccc}
    \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & 0 & 0 \\
    0 & \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\
    0 & k_{z} k_{y} & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}
    \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
    E_{0 x} \\
    E_{0 y} \\
    E_{0 z}
    \end{array}\right)=0 \notag
    \]

    se deduce que

    \[
    E_{0 x}=0 \notag
    \]

    el subsistema

    \[
    \left(\begin{array}{cc}
    \left(n_{o} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\
    k_{z} k_{y} & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}
    \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
    E_{0 y} \\
    E_{0 z}
    \end{array}\right)=0 \notag
    \]

    tiene solución distinta de la trivial, porque su determinante vale, por hipótesis, 1. Resolviendo:

    \[
    \mathbf{E}_{0} \propto\left(\begin{array}{c}
    0 \\
    n_{e}^{2} k_{z} \\
    -n_{o}^{2} k_{y}
    \end{array}\right) \notag
    \]

    Conclusiones:

    • La luz es linealmente polarizada (campo proporcional a un vector real), y está en el plano determinado por \(\mathbf{k} y\) el eje óptico.
    • En general \(\mathbf{E}_{0} \not \mathbf{k}\) ya que

    \[
    \mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0} \propto\left(n_{o r}^{2}-n_{e}^{2}\right) k_{y} k_{z} \notag
    \]

    salvo en el caso \(k_{z}=k_{x}=0\) ( \(k_{y}\) lo estamos excluyendo de momento). Dicho de otro modo, siempre que \(\mathbf{k}\) sea perpendicular al eje óptico, \(\mathbf{k} \perp \mathbf{E}_{0}\), pero sólo en ese caso. La energía y la fase se propagan cada una por su cuenta.

    Eje óptico

    Cuando el vector de ondas está en la dirección del eje óptico, sólo hay una onda (la ordinaria y la extraordinaria coinciden). Se cumple \(k_{y}=k_{x}=0 \mathrm{y} \mathbf{k}=n_{o} \frac{\omega}{c} \mathbf{u}_{z}\). Esto en nuestra ecuación de autovalores significa más ceros en la matriz:

    \[
    \left(\begin{array}{ccc}
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & \left(n_{e} \frac{\omega}{c}\right)^{2}
    \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
    E_{0 x} \\
    E_{0 y} \\
    E_{0 z}
    \end{array}\right)=0 \notag
    \]

    de donde \(E_{0 z}=0\) y \(E_{0 x}, E_{0 y}\) son libres.

    Conclusiones:

    • Cualquier estado de polarización es posible.
    • \(\mathbf{E} \cdot \mathbf{k}=0\) por lo que fase y energía van en la misma dirección.

    En este caso particular la onda ve un medio isótropo: si nos movemos por el eje \(z\) el índice en todas las direcciones laterales es el mismo. Es natural que el resultado sea el mismo que para una oap en un medio isótropo.

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    Figura \(\PageIndex{1}\): Diagrama de la interfase y las ondas que intervienen

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