2.10: Derivación de las leyes de Wien y Stefan

Las leyes de Wien y Stefan se encuentran, respectivamente, por diferenciación e integración de la ecuación de Planck. Ninguno de estos es particularmente fácil, y no se encuentran en todos los libros de texto. Por lo tanto, los derivo aquí.

Ley de Viena

La ecuación de Planck para la exitancia por intervalo de longitud de onda unitaria (ecuación 2.6.1) es

\[\dfrac{M}{C} = \dfrac{1}{\lambda^5 \left( e^{K/\lambda T} - 1\right)}, \tag{2.11.1} \label{2.11.1}\]

en la que he omitido algunos subíndices. Diferenciación da

\[\dfrac{1}{C} \dfrac{dM}{d \lambda} = -\dfrac{1}{\left( e^{K/\lambda T} - 1\right)^2} \cdot \left[ 5 \lambda^4 \cdot \left( e^{K/\lambda T} - 1 \right) + \lambda^5 \cdot \left( - \dfrac{K}{\lambda^2 T}\right) e^{K/ \lambda T} \right] . \tag{2.11.2} \label{2.11.2}\]

\(M\)es mayor cuando esto es cero; es decir, cuando

\[x = 5 \left(1 - e^{-x} \right) , \tag{2.11.3} \label{2.11.3}\]

donde\[x= \dfrac{K}{\lambda T}. \tag{2.11.4} \label{2.11.4}\]

Por lo tanto, con la ecuación 2.6.9, la longitud de onda a la que M es un máximo, viene dada por

\[\lambda = \dfrac{hc}{kx T}. \tag{2.11.5} \label{2.11.5}\]

El valor máximo de\(M\) se encuentra sustituyendo este vale de\(\lambda\) nuevo en la ecuación de Planck, para llegar a la ecuación 2.7.16. Las versiones correspondientes de la Ley de Viena apropiadas a las otras versiones de la ecuación de Planck se encuentran de manera similar.

Ley de Stefan

La integración de la ecuación de Planck para llegar a la ley de Stefan es un poco más complicada.

Debe quedar claro eso\(\int_0^\infty M_\lambda d\lambda = \int_0^\infty M_\nu d\nu\), y por lo tanto elijo integrar la más fácil de las funciones, a saber\(M_\nu\). Para integrarse\(M_\lambda\), lo primero que haríamos de todos modos sería hacer la sustitución\(\nu = c / \lambda\).

La ecuación de Planck para la exitancia de cuerpo negro por intervalo de frecuencia unitaria es

\[M_\nu = C_3 \int_0^\infty \dfrac{\nu^3d\nu}{e^{K_2 \nu /T}-1}. \tag{2.11.6} \label{2.11.6}\]

Dejar\(x = K_2 \nu /T\); entonces\[M_\nu = \dfrac{2\pi k^4 T^4}{c^2 h^3} \int_0^\infty \dfrac{x^3dx}{e^x - 1}, \tag{2.11.7} \label{2.11.7}\]

Y, salvo el valor numérico de la integral, ya tenemos la ley de Stefan. La integral puede evaluarse numéricamente, pero no sin dificultad, y existe una solución analítica para ello.

Considerar la integral indefinida e integrarla por partes:

\[\int \dfrac{x^3dx}{e^x-1} = x^3 \ln \left( 1 - e^{-x} \right) - 3 \int x^2 \ln \left( 1 - e^{-x} \right) dx + \text{const}. \]

Ahora pon los límites en:

\[\int_0^\infty \dfrac{x^3dx}{e^x - 1} = -3 \int_0^\infty x^2 \ln \left( 1 - e^{-x} \right) dx.\]

Anota la expansión Maclaurin del integrando:

\[\int_0^\infty \dfrac{x^3 dx}{e^x -1} = 3 \int_0^\infty x^2 \left( e^{-x} + \dfrac{1}{2} e^{-2x} + \dfrac{1}{3}e^{-3x} + ... \right) dx\]

e integrar término por término para obtener

\[\int_0^\infty \dfrac{x^3 dx}{e^x - 1} = 6 \left( 1 + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{3^4} + ... \right) . \label{2.11.8} \tag{2.11.8}\]

Ahora debemos evaluar\(1+\dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{3^4} + ... \)

La serie\(\sum\limits_{1}^{\infty} \dfrac{1}{n^m}\) es la\(\zeta\) función Riemann. Porque\(m = 1\), diverge. Para\(m = 3, 5, 7,\) etc., tiene que ser evaluado numéricamente. Para\(m = 2, 4, 6,\) etc., las sumas pueden escribirse explícitamente en términos de\(\pi\). Por ejemplo:

\[\zeta (2) = \dfrac{\pi^2}{6},\]

\[\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90},\]

\[\zeta(6) = \dfrac{\pi^6}{945}.\]

Una de las etapas necesarias para evaluar la\(\zeta\) función -es derivar el producto infinito

\[\dfrac{\sin \alpha \pi}{\alpha \pi} = \left[ 1 - \alpha^2\right] \left[ 1 - \left( \dfrac{1}{2} \alpha \right)^2 \right] \left[ 1 - \left( \dfrac{1}{3} \alpha \right)^2 \right] ... \label{2.11.9} \tag{2.11.9}\]

Si podemos hacer eso, estamos a más de la mitad de camino.

Empecemos por considerar la expansión de Fourier de\(\cos \theta x\):

\[\cos \theta x = \sum_0^\infty a_n \cos nx \label{2.11.10} \tag{2.11.10}\]

En la Ecuación\ ref {2.11.10}\(n\) es un número entero,\(\theta\) no necesariamente así; supondremos que\(\theta\) es algún número entre 0 y 1. No hay necesidad de considerar ningún término sinusoidal, porque\(\cos \theta x\) es una función par de\(x\). Calculamos cuáles son los coeficientes de Fourier de la manera habitual, para obtener

\[a_n = (-1)^n \dfrac{2\theta \sin \theta \pi}{\theta^2 - n^2}, \quad n=1,2,3,... \label{2.11.11} \tag{2.11.11}\]

Como de costumbre, y por la razón habitual,\(a_0\) es una excepción:

\[a_0 = \dfrac{\sin \theta \pi}{\theta \pi}. \label{2.11.12} \tag{2.11.12}\]

Por lo tanto, hemos llegado a la expansión de Fourier de\(\cos \theta x\):

\[\cos \theta x = \dfrac{2\theta \sin \theta \pi}{\pi} \left( \dfrac{1}{2\theta^2} - \dfrac{\cos x}{\theta^2-1^2} + \dfrac{\cos 2x}{\theta^2 - 2^2} - \dfrac{\cos 3x}{\theta^2 - 3^2} + ... \right) . \label{2.11.13} \tag{2.11.13}\]

Poner\(x = \pi\) y reorganizar ligeramente:

\[ \pi \cot \theta \pi - \dfrac{1}{\theta} = 2 \theta \left( \dfrac{1}{\theta^2-1^2} + \dfrac{1}{\theta^2 - 2^2} + ...\right) . \label{2.11.14} \tag{2.11.14}\]

Ya que estamos asumiendo que\(\theta\) es algún número entre 0 y 1, volveremos a escribir esto para que los denominadores sean todos positivos:

\[\pi \cot \theta \pi - \dfrac{1}{\theta} = - \dfrac{2\theta}{1^2-\theta^2} - \dfrac{2\theta}{2^2-\theta^2} - ... \label{2.11.15} \tag{2.11.15}\]

Ahora multiplique ambos lados por\(d\theta\) e integren de\(\theta = 0\) a\(\theta = \alpha\). La integración debe hacerse con cuidado. La integral indefinida del lado izquierdo es\(\ln \sin \theta \pi - \ln \theta + \text{constant}\), i.e\( \ln \left( \dfrac{\sin \theta \pi}{\theta} \right) + \text{constant}\). La integral definitiva entre\(0\) y\(\alpha\) es\(\ln \left( \dfrac{\sin \alpha \pi}{\alpha} \right) - \lim\limits_{\theta\to\ 0} \ln \left( \dfrac{\sin \theta \pi}{\theta}\right)\).

El límite del segundo término es\(\ln \pi\), por lo que lo es la integral definitiva\(\ln \left( \dfrac{\sin \alpha \pi}{\alpha \pi}\right)\). Integrar el lado derecho es un poco más fácil, así que llegamos a

\[\ln \left( \dfrac{\sin \alpha \pi}{\alpha \pi} \right) = \ln \left( \dfrac{1^2-\alpha^2}{1^2} \right) + \ln \left( \dfrac{2^2-\alpha^2}{2^2} \right) + ... \label{2.11.16} \tag{2.11.16}\]

Al tomar el antilogaritmo, llegamos al producto infinito requerido:

\[ \dfrac{\sin \alpha \pi}{\alpha \pi} = \left[ 1- \alpha^2 \right] \left[ 1 - \left( \dfrac{1}{2} \alpha \right) ^2 \right] \left[ 1 - \left( \dfrac{1}{3} \alpha \right)^2 \right] ... \label{2.11.17} \tag{2.11.17}\]

Ahora expanda esto como una serie de potencia en\(\alpha^2\):

\[\dfrac{\sin \alpha \pi}{\alpha \pi} = 1 + () \alpha^2 + () \alpha^4 + () \alpha^6 + ... \label{2.11.18} \tag{2.11.18}\]

El primero es fácil, pero los posteriores rápidamente se vuelven más difíciles, pero sí hay que llegar al menos hasta\(\alpha^4\).

Ahora compara esta expansión con la expansión ordinaria de Maclaurin:

\[\dfrac{\sin \alpha \pi}{\alpha \pi} = 1 - \dfrac{\pi^2}{3!} \alpha^2 + \dfrac{\pi^4}{5!} \alpha^4 - ... \label{2.11.19} \tag{2.11.19}\]

y llegamos a las expresiones correctas para las\(\zeta\) funciones Riemann. Entonces obtenemos para la ley de Stefan:

\[M = \dfrac{2\pi^5 k^4}{15 h^3 c^2}T^4 = \sigma T^4, \label{2.11.20} \tag{2.11.20}\]

donde\(\sigma = 5.6705 \times 10^{-8} \ \text{W m}^{-2} \text{K}^{-4}.\)

Preguntas

Finalmente, ahora que has luchado a través de la función zeta de Riemann, asegurémonos de que has entendido las cosas realmente simples, así que aquí tienes un par de preguntas fáciles, y no tendrás que molestarte con las funciones zeta.

1. ¿En qué factor se debe aumentar la temperatura de un cuerpo negro para que

a) ¿Se duplica la luminosidad integrada (sobre todas las frecuencias)?

b) ¿Se duplica la frecuencia a la que su resplandor es mayor?

c) ¿Se duplica la radiancia espectral por unidad de intervalo de longitud de onda a su longitud de onda de máxima radiancia espectral?

2. Un bloque de plata brillante (absorbancia = 0.23) tiene una burbuja dentro de él de radio\(2.2 \text{cm}\), y se mantiene a una temperatura de\(1200 \text{K}\).

Un bloque de carbón negro opaco (absorbancia = 0.86) tiene una burbuja dentro de él de radio\(4.3 \text{cm}\), y se mantiene a una temperatura de\(2300 \text{K}\),

Calcular la relación\[\dfrac{\text{Integrated radiation energy density inside the carbon bubble}}{\text{Integrated radiation energy density insdie the silver bubble}}.\]

Respuestas. 1. a) 1.189 b) 2.000 c) 1.149

2. 13.5