2.9: Formas adimensionales de la ecuación de Planck

Las funciones de Planck (de longitud de onda o frecuencia y temperatura) pueden colapsarse en funciones adimensionales de una sola variable si expresamos la exitancia en unidades de la máxima exitancia, y la longitud de onda o frecuencia en unidades de la longitud de onda o frecuencia a la que se produce el máximo. Para lograrlo serán necesarias las ecuaciones 2.7.1-4 y 16-20, y el lector podría disfrutar haciéndolo como un reto. (Dije “podría”.) Los resultados son

\[M_\lambda = \frac{b_1}{\lambda^5 \left( e^{x_1 / \lambda}-1\right)} \tag{2.10.1}\]

\[N_\lambda = \frac{b_2}{\lambda^4 \left( e^{x_2 / \lambda}-1\right)} \tag{2.10.2}\]

\[M_\nu = \frac{b_3 \nu^3}{e^{x_3 \nu} -1}\tag{2.10.3}\]

\[N_\nu = \frac{b_4 \nu^2}{e^{x_4 \nu} - 1} \tag{2.10.4}\]

donde\[b_n = e^{x_n} -1 \quad (n=1,2,3,4) \tag{2.10.5} \]

Los valores numéricos de\(x_n\) se dan en las ecuaciones 2.7.8-11, y los valores de\(b_n\) son

\[b_1 = 142.32492 \tag{2.10.6}\]

\[b_2 = 49.435253 \tag{2.10.7}\]

\[b_3 = 15.801016 \tag{2.10.8}\]

\[b_4 = 3.9215536 \tag{2.10.9}\]

Los números\(x_n \ y_n, \ b_n\) son independientes de los valores de cualquier constante física como\(h\),\(c\) o\(k\), y no van a cambiar a medida que nuestro conocimiento de estos valores mejore. Estas funciones, que son independientes de la temperatura, están dibujadas en las figuras II.1,2,3,4 que se muestran al final de este capítulo.

Ejemplo

Aquí hay un ejemplo para mostrar el uso de las funciones adimensionales para calcular rápidamente el resplandor del cuerpo negro. ¿Cuál es el resplandor por unidad de longitud de onda de un cuerpo\(5000 \ \text{K}\) negro\(400 \ \text{nm}\)? Tal vez prefieras calcular esto directamente a partir de la ecuación 2.6.1, pero probémoslo usando la forma adimensional. De la ecuación 2.7.1 encontramos que la longitud de onda a la que se produce la máxima exitancia por unidad de longitud de onda es\(579.56 \ \text{nm}\), y por lo tanto nuestra longitud de onda adimensional a insertar en la ecuación 2.10.1 es 0.6902. Esto da un intervalo de luminosidad por unidad de longitud de onda (en unidades del máximo) de 0.6832. Pero la ecuación 2.7.16 da la luminosidad máxima por unidad de intervalo de longitud de onda como\(4.0178 \times 10^{13} \ \text{W m}^{-2} \text{m}^{-1}\) y por lo tanto la radiancia a\(400 \ \text{nm}\) es\(2.745 \times 10^{13} \ \text{W m}^{-2} \text{m}^{-1}\).

No creo que tenga mucho sentido integrar las funciones adimensionales 2.10.1-4 en todas las longitudes de onda y frecuencias, pero, para que conste:

\[ \int_0^\infty M_\lambda d \lambda = \frac{\pi^4 x_1}{15 y_1} = 1.52080 \tag{2.10.10}\]

\[ \int_0^\infty N_\lambda d \lambda = \frac{2 \zeta (3) x_2}{y_2} = 1.97199 \tag{2.10.11}\]

\[ \int_0^\infty M_\nu d\nu = \frac{\pi^4}{15x_3 y_3} =1.61924 \tag{2.10.12}\]

\[ \int_0^\infty N_\nu d\nu = \frac{2 \zeta (3)}{x_4 y_4} = 2.32946 \tag{2.10.13}\]

Figura II.1. Exitancia de cuerpo negro por intervalo de longitud de onda unitaria. La ecuación es la ecuación 2.10.1, con constantes dadas por las ecuaciones 2.10.6 y 2.7.8. El valor máximo viene dado por las ecuaciones 2.7.16 y 2.7.27. Ocurre a una longitud de onda dada por las ecuaciones 2.7.1 y 2.7.12.

Figura II.2. Exitancia de fotones de cuerpo negro por intervalo de longitud de onda unitaria. La ecuación es la ecuación 2.10.2 con constantes dadas por las ecuaciones 2.10.7 y 2.7.9. El valor máximo viene dado por las ecuaciones 2.7.17 y 2.7.28. Ocurre a una longitud de onda dada por las ecuaciones 2.7.2 y 2.7.13.

Figura II.3. Radiancia de cuerpo negro por unidad de intervalo de frecuencia. La ecuación es la ecuación 2.10.3 con constantes dadas por las ecuaciones 2.10.8 y 2.7.10. El valor máximo viene dado por las ecuaciones 2.7.18 y 2.7.29. Ocurre a una frecuencia dada por las ecuaciones 2.7.3 y 2.7.14.

Figura II.4. Radiancia de fotones de cuerpo negro por unidad de intervalo de frecuencia. La ecuación es la ecuación 2.10.4 con constantes dadas por las ecuaciones 2.10.9 y 2.7.11. El valor máximo viene dado por las ecuaciones 2.7.19 y 2.7 30. Ocurre a una frecuencia dada por las ecuaciones 2.7.4 y 2.7.15.