7.20: Cargas orbitales y giratorias

En la siguiente sección, sección 7.21, vamos a ver el efecto Zeeman, que es la división simétrica de líneas espectrales en un campo magnético. Antes de llegar a eso, sin embargo, será útil revisar algunos principios elementales de la mecánica clásica y el electromagnetismo en relación con las cargas eléctricas orbitantes y giratorias. En particular, una carga eléctrica en órbita o giratoria tiene un momento angular y también un momento magnético. En esta sección calcularemos ambas cantidades para una carga orbital y para una carga giratoria. En particular calcularemos para cada uno la relación entre el momento magnético y el momento angular para cada uno. Esta cantidad debería llamarse la relación magnetogírica, aunque por alguna razón algunas personas se refieren a ella, de manera totalmente ilógica, como la relación “giromagnética”.

Comenzaremos considerando un punto de carga eléctrica de masa\(m\) y carga\(e\) moviéndose con velocidad\(v\) en círculo de radio\(a\). Es la mecánica clásica elemental que es su momento angular\(mva\). Esto puede verse ya sea pensando en el momento angular como sinónimo de momento de impulso (en cuyo caso el momento de impulso es\(mv\) tiempos\(a\)) o pensando en el momento angular como\(I\omega\) (en cuyo caso es\(ma^2\) tiempos\(v / a\)). Las dimensiones del momento angular son\(\text{ML}^2 \text{T}^{-1}\), y las unidades SI se expresan convenientemente como\(\text{J s}\) (julio segundos). Debe verificar que las dimensiones de\(\text{J s}\) sean correctas.

Antes de calcular el momento magnético, vale la pena considerar qué se entiende por momento magnético. Esto se debe a que hay varias formas diferentes en las que se podría definir el momento magnético (¡puedo pensar en doce definiciones plausibles!) y de ninguna manera queda claro qué piensan los diferentes autores que quieren decir con el término. Utilizaré el siguiente concepto (que es estándar SI). Si un imán se coloca en un campo magnético externo\(\textbf{B}\) (del cual la unidad SI es tesla), el imán experimentará en general un par. (Digo “en general” porque si el momento magnético es paralelo o antiparalelo al campo, no habrá par.) La magnitud del par depende de la orientación del imán con respecto al par. Hay dos direcciones particulares (opuestas entre sí, es decir, que difieren por\(180^\circ\)) en las que el par es máximo. Definición: El momento dipolo magnético es el par máximo experimentado en el campo magnético unitario\(\textbf{B}\). Es una cantidad vectorial, y propongo usar el símbolo\(\boldsymbol{\mu}\) para ello, o\(\mu\) por su magnitud, a menos que surjan contextos en los que µ pueda confundirse con otra cosa (como la permeabilidad, por ejemplo). Avisaré si necesito usar un símbolo alternativo. Con esa definición, la expresión del par\(\boldsymbol{\tau}\) en un imán de momento\(\boldsymbol{\mu}\) en un campo externo\(\textbf{B}\) es

\[\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\mu} \times \textbf{B} \label{7.20.1} \tag{7.20.1}\]

Esta ecuación por sí sola no definirá de\(\boldsymbol{\mu}\) manera única, porque (si ha experimentado soluciones de ecuaciones vectoriales antes) la ecuación no se puede resolver únicamente para\(\boldsymbol{\mu}\). Sin embargo, en concierto con la definición dada en la frase en cursiva anterior, el momento magnético se define de manera única y sin ambigüedades. La unidad SI es\(\text{N m T}^{-1}\). (también\(\text{J T}^{-1}\) haría en principio, salvo que el joule no sugiere el concepto de torque tan bien como\(\text{N m}\) lo hace.) Por lo general se da un ejemplo en los cursos introductorios de electricidad para el par en un plano, bobina portadora de corriente, en el que se muestra que el momento magnético en ese caso es igual a la corriente multiplicada por el área de la bobina (multiplicado por el número de vueltas si hay más de una). Por lo tanto, las unidades SI equivalentes y totalmente aceptables son\(\text{A m}^2\). Las dimensiones del momento magnético son\(\text{IL}^2\). (Se observará que el momento magnético a menudo se cita en otras unidades como\(\text{T m}^3\) o\(\text{G cm}^3\). Si no están realmente equivocadas, éstas deben describir definiciones dimensionalmente diferentes de lo que se entiende por momento magnético. \(\text{T m}^3\), por ejemplo, no es dimensionalmente lo mismo que\(\text{N m T}^{-1}\). No persigo aquí este aspecto; he dado el tratamiento estándar SI.)

Con esa introducción, ahora podemos movernos para calcular el momento magnético de una carga eléctrica puntual que\(e\) se mueve con velocidad\(v\) en un círculo de radio\(a\). La corriente efectiva es la carga dividida por el periodo de la órbita, que es\(e \div (2\pi a / v ) = ev / (2\pi a)\). El área del círculo es\(\pi a^2\), así es el momento magnético\(eav / 2\).

La relación entre el momento magnético y el momento angular, es decir, la relación magnetogírica, es\(\frac{e}{2m}\). La unidad SI es\(\text{C kg}^{-1}\). Para un electrón que se mueve en círculo (de cualquier radio y a cualquier velocidad) su magnitud es\(8.794 \times 10^{10} \text{C kg}^{-1}\).

¿Qué pasa con una esfera giratoria de radio finito? Pues bien, si la carga y la masa están ambas distribuidas uniformemente por toda la esfera, o si no están distribuidas uniformemente pero la carga y la masa están igualmente distribuidas por toda la esfera, entonces la relación magnetogírica vuelve a ser justa\(\frac{e}{2m}\), porque cada pequeño elemento del hilado esfera se puede considerar como una carga puntual que se mueve en un círculo.

Pero, ¿y si las densidades de carga y masa se distribuyen de manera diferente? Por ejemplo, ¿si la esfera fuera una esfera metálica cargada, en la que la masa se distribuye uniformemente a través de la esfera, pero la carga está confinada a la superficie? En este caso se esperaría que la relación magnetogírica sea mucho mayor que\(\frac{1}{2} \cdot \frac{e}{m}\). Probablemente te resulte fácil calcular el momento angular de una esfera uniforme de masa\(m\) y radio que\(a\) gira a velocidad angular\(\omega\). Será un poco más difícil, pero un muy buen ejercicio, resolver el momento magnético, asumiendo que toda la carga está en la superficie. Debe encontrar que la relación magnetogírica es\(\frac{5}{6} \cdot \frac{e}{m}\), que, como se esperaba, es mucho mayor que\(\frac{1}{2} \cdot \frac{e}{m}\). De esto podría anticiparse que, si pudiéramos medir de alguna manera (quizás a partir del efecto Zeeman) la relación magnetogírica de un electrón (que, de hecho, podemos, y con una precisión bastante extraordinaria) podemos obtener alguna información sobre cómo se distribuyen la masa y la carga por todo el electrón. De hecho resulta que la relación magnetogírica de un electrón giratorio está muy cerca de\(e/m\). Esto sugiere no sólo que la carga se distribuye cerca de la superficie sino que la masa se concentra cerca del centro. ¿Es esto cierto? Es cierto que podemos medir espectroscópicamente la relación magnetogírica, y es cierto que resulta estar muy cerca de\(e / m\). Si deducir de esto que un electrón es una esfera en la que la carga se mantiene cerca de la superficie y la masa se concentra centralmente es un poco más problemático. No es necesariamente “incorrecto”, pero puede que no sea un modelo muy útil para describir otras propiedades del electrón más allá de su relación magnetogírica. Los físicos de partículas generalmente consideran un electrón como un “leptón” sin ninguna estructura interna discernible. Quizás la física no pueda decir lo que realmente “es” un electrón (o cualquier otra cosa); podemos describir sus propiedades observables y usar cualquier modelo que parezca mejor para describirlas y predecir su comportamiento.

Paso ahora a la pregunta de cuál es la energía potencial de un imán de momento\(\boldsymbol{\mu}\) cuando está situado en un campo magnético\(\textbf{B}\). Cuando el ángulo entre\(\boldsymbol{\mu}\) y\(\textbf{B}\) es\(\theta\), hay un par en el imán de magnitud\(\mu B \sin \theta\) (ver ecuación\(\ref{7.20.1}\))). El trabajo necesario para aumentar\(\theta\) por\(d\theta\) es\(\mu B \sin \theta d \theta\), y el trabajo necesario para pasar de\(\theta_1\) a\(\theta_2\) es por lo tanto\(\mu B (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)\), que es la diferencia de energía potencial entre las dos posiciones. Podemos elegir el nivel cero para la energía potencial donde lo haremos. Si, por ejemplo, elegimos que la energía potencial sea cero cuando\(\boldsymbol{\mu}\) y\(\textbf{B}\) sean paralelas, la energía potencial en ángulo\(\theta\) es\(\mu B(1− \cos \theta)\). Si, por otro lado, elegimos que la energía potencial sea cero cuando\(\boldsymbol{\mu}\) y\(\textbf{B}\) estamos en ángulo recto entre sí (como se hace muy a menudo), la energía potencial en ángulo\(\theta\) es\(−\mu B \cos \theta\), o\(−\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{\cdot} \textbf{Β}\). Con esta convención, la energía potencial es\(−\mu B\),\(0\) o\(+\mu B\) para\(\boldsymbol{\mu}\) y\(\textbf{B}\) paralela, perpendicular o antiparalela.

Un último tema antes de proceder al efecto Zeeman. Quienes hayan estudiado mecánica clásica apreciarán que si un cuerpo giratorio, de momento angular\(\textbf{L}\) se somete a un par externo\(\boldsymbol{\tau}\), precederá con una velocidad angular\(\boldsymbol{\Omega}\), y los tres vectores están relacionados por

\[\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\Omega} \times \textbf{L}. \label{7.20.2} \tag{7.20.2}\]

Nuevamente, aquellos familiarizados con las ecuaciones vectoriales notarán que esta ecuación no se puede resolver únicamente para\(\boldsymbol{\Omega}\), porque no conocemos el ángulo entre\(\boldsymbol{\tau}\) y\(\textbf{L}\). Sin embargo, si se trata de una peonza no vertical que gira sobre una mesa, el par está en ángulo recto con el vector de momento angular y la tasa de precesión es\(mgl / L\), donde\(l\) está la distancia entre la parte inferior de la parte superior (perdón por la elección de las palabras) y el centro de masa. (Aquellos que están muy familiarizados con la teoría de la cima, reconocerán que aquí nos estamos refiriendo a la tasa de precesión verdadera o pseudo regular, después de que se haya amortiguado el movimiento nutacional -pero aquí no hay necesidad de tales sutilezas).

Consideremos ahora un imán giratorio cuyo momento magnético es\(\boldsymbol{\mu}\) y cuyo momento angular es\(\textbf{L}\). Supongamos que se coloca en un campo magnético\(\textbf{B}\). Ahora experimenta un torque\(\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\mu} \times \textbf{B}\). El resultado de esto es que, independientemente del ángulo entre\(\textbf{L}\) y\(\textbf{B}\),\(\textbf{L}\) precederá alrededor\(\textbf{B}\) a una velocidad angular\(\mu B/L\). Es decir, a una velocidad angular igual a\(B\) veces la relación magnetogírica. En el caso de una partícula de carga\(e\) y masa\(m\) moviéndose en círculo la velocidad angular de precesión es\(\frac{eB}{2m}\). A esto se le llama la velocidad angular de Larmor, y\(\frac{eB}{4\pi m}\) es la frecuencia de Larmor. Si\(e\),\(B\) y\(m\) se expresan en\(\text{C}\),\(\text{T}\) y\(\text{kg}\) respectivamente, la frecuencia de Larmor estará en\(\text{Hz}\).