11.7: Curva observacional de crecimiento

La ecuación 11.6.2 y la figura XI.6 muestran cómo crecerá el ancho equivalente de una línea a medida que se incremente el espesor óptico, lo que se puede lograr ya sea aumentando el espesor geométrico del gas en estudio o aumentando la densidad numérica de los absorbedores (átomos). Por supuesto, si estás mirando el espectro de una atmósfera estelar, no puedes hacer ninguna de estas cosas, pero podrías construir una curva de crecimiento mirando muchas líneas del mismo elemento (como un elemento del grupo hierro, que tiene muchas líneas de una amplia gama de anchuras equivalentes). Entonces, al comparar la forma de la curva de crecimiento observada con una de las curvas teóricas, podrías deducir la HWHM gaussiana y lorentziana,\(g\text{ and }l\), de tus líneas (y por lo tanto posiblemente la temperatura y presión) incluso si tu resolución no fuera suficiente para determinar los perfiles de línea individuales con cualquier precisión. Notarás la palabra “posiblemente” —porque hay que recordar que\(g\) incluye tanto un componente térmico como uno microturbulento, e\(l\) incluye tanto un componente de amortiguación de radiación como un componente de ensanchamiento de presión. Siempre que el gas en estudio sea homogéneo y de una temperatura uniforme en todo momento (¡supongo que esto descarta una atmósfera estelar!) \(g\)debe ser el mismo para todas las líneas de un elemento dado. (El componente microturbulento de\(g\) debe ser el mismo para todos los elementos.) El componente amortiguador de radiación de\(l\) variará de línea a línea, pero en la práctica, al menos en la atmósfera de una estrella de secuencia principal (pero no necesariamente de un gigante, donde la presión atmosférica es mucho menor), el componente de ensanchamiento de presión de\(l\) será mucho mayor que la radiación componente de amortiguación, y por lo tanto\(l\) será el mismo para todas las líneas de un elemento dado. Las teorías de térmica, microturbulencia, amortiguación de radiación y ensanchamiento de presión están cubiertas en el Capítulo 10.

Todo está muy bien decir log plot\(W^\prime\) versus log\(\tau(0)\) para muchas líneas de un elemento hierro-group, pero inmediatamente descubrimos que tampoco sabemos. La cantidad adimensional\(W^\prime\) viene dada por

\[\label{11.7.1}W^\prime = W \sqrt{\ln 2}/g,\]

y no lo sabemos\(g\) — de hecho uno de nuestros objetivos es encontrarla. La profundidad óptica en el centro de la línea viene dada por

\[\label{11.7.2}\tau(0)=\frac{\mathcal{N}_1f_{12}e^2}{mc\epsilon_0\Gamma},\]

y no sabemos\(\Gamma\) − otra vez, uno de nuestros objetivos es encontrarla. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden escribir en la forma

\[\label{11.7.3}\log W^\prime = \log W +\text{ constant}\]

y

\[\label{11.7.4}\log \tau(0) = \log \mathcal{N}_1f_{12}+\text{ constant}.\]

También, a partir de la ecuación de Boltzmann (¡donde corresponda!) , tenemos

\[\label{11.7.5}\ln \mathcal{N}_1 =\ln (\mathcal{N}/u)-E_1/(kT)+\ln \varpi_1 ,\]

a partir de la cual

\[\label{11.7.6}\log \mathcal{N}_1 =\log \varpi_1 + C(E_1)\]

donde la “constante” es una función de\(E_1\), la energía de excitación del nivel inferior de la línea. A partir de esto, obtenemos

\[\label{11.7.7}\log \tau(0)=\log \varpi f+C(E_1).\]

Así, siempre que tomemos un conjunto de líneas que tengan el mismo nivel de excitación más bajo (o al menos el mismo término inferior, siempre que las salidas del\(LS\) acoplamiento no sean tan severas como para dispersar los niveles ampliamente), podemos construir una curva parcial de crecimiento trazando\(\log W\) versus\(\log \varpi f\) para estas líneas. Éstas serán desplazadas tanto vertical como horizontalmente de las curvas teóricas de la figura XI.6 en cantidades arbitrarias, lo que no afectará la forma de la curva.

Entonces podemos tomar otro conjunto de líneas, teniendo un nivel de excitación inferior común diferente (o término), y trazar otra curva parcial de crecimiento. Se desplazará horizontalmente (pero no verticalmente) desde el primer fragmento, y deberá deslizarse horizontalmente hasta que se engrana con el primer fragmento. Y así continuamos, construyendo curvas parciales de crecimiento a partir de conjuntos de líneas con un término inferior común, deslizándolas horizontalmente hasta que todas se engranen entre sí en una sola curva continua, que luego podemos comparar con las formas de las curvas teóricas para obtener\(g\) y\(l\) y de ahí la temperatura y presión.