3.3: Ley Universal de Gravitación de Newton
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objetivos de aprendizaje
Al final de la sección, podrás:
- Explicar lo que determina la fuerza de la gravedad
- Describir cómo la ley universal de gravitación de Newton extiende nuestra comprensión de las leyes de Kepler
Las leyes del movimiento de Newton muestran que los objetos en reposo permanecerán en reposo y los que están en movimiento continuarán moviéndose uniformemente en línea recta a menos que se actúe sobre ellos por una fuerza. Así, es la línea recta la que define el estado de movimiento más natural. Pero los planetas se mueven en elipses, no en líneas rectas; por lo tanto, alguna fuerza debe estar doblando sus caminos. Esa fuerza, propuso Newton, era la gravedad.
En la época de Newton, la gravedad era algo asociado solo con la Tierra. La experiencia cotidiana nos muestra que la Tierra ejerce una fuerza gravitacional sobre los objetos en su superficie. Si se cae algo, se acelera hacia la Tierra a medida que cae. La visión de Newton fue que la gravedad de la Tierra podría extenderse hasta la Luna y producir la fuerza requerida para curvar el camino de la Luna desde una línea recta y mantenerla en su órbita. Además planteó la hipótesis de que la gravedad no se limita a la Tierra, sino que existe una fuerza general de atracción entre todos los cuerpos materiales. Si es así, la fuerza atractiva entre el Sol y cada uno de los planetas podría mantenerlos en sus órbitas. (Esto puede parecer parte de nuestro pensamiento cotidiano hoy en día, pero fue una visión notable en la época de Newton).
Una vez que Newton planteó audazmente la hipótesis de que había una atracción universal entre todos los cuerpos en todas partes del espacio, tuvo que determinar la naturaleza exacta de la atracción. La descripción matemática precisa de esa fuerza gravitacional tuvo que dictar que los planetas se mueven exactamente como Kepler los había descrito (como se expresa en las tres leyes de Kepler). También, esa fuerza gravitacional tuvo que predecir el correcto comportamiento de los cuerpos caídos sobre la Tierra, como observó Galileo. ¿Cómo debe depender la fuerza de gravedad de la distancia para que se cumplan estas condiciones?
La respuesta a esta pregunta requirió de herramientas matemáticas que aún no se habían desarrollado, pero esto no disuadió a Isaac Newton, quien inventó lo que hoy llamamos cálculo para hacer frente a este problema. Finalmente pudo concluir que la magnitud de la fuerza de gravedad debe disminuir al aumentar la distancia entre el Sol y un planeta (o entre dos objetos cualesquiera) en proporción al cuadrado inverso de su separación. Es decir, si un planeta estuviera el doble de lejos del Sol, la fuerza sería\((1/2)^2\), o\(1/4\) tan grande. Pon el planeta tres veces más lejos, y la fuerza es\((1/3)^2\), o\(1/9\) tan grande.
Newton también concluyó que la atracción gravitacional entre dos cuerpos debe ser proporcional a sus masas. Cuanto más masa tenga un objeto, más fuerte será la atracción de su fuerza gravitacional. Por lo tanto, la atracción gravitacional entre dos objetos cualquiera viene dada por una de las ecuaciones más famosas de toda la ciencia:
\[F_{gravity}=G \dfrac{M_1M-2}{R^2} \nonumber\]
donde\(F_{gravity}\) está la fuerza gravitacional entre dos objetos,\(M_1\) y\(M_2\) son las masas de los dos objetos, y\(R\) es su separación. \(G\)es un número constante conocido como la constante gravitacional universal, y la ecuación misma resume simbólicamente la ley universal de la gravitación de Newton. Con tal fuerza y las leyes del movimiento, Newton pudo demostrar matemáticamente que las únicas órbitas permitidas eran exactamente las descritas por las leyes de Kepler.
La ley universal de la gravitación de Newton funciona para los planetas, pero ¿es realmente universal? La teoría gravitacional también debería predecir la aceleración observada de la Luna hacia la Tierra a medida que orbita la Tierra, así como de cualquier objeto (digamos, una manzana) caído cerca de la superficie de la Tierra. La caída de una manzana es algo que podemos medir con bastante facilidad, pero ¿podemos usarla para predecir los movimientos de la Luna?
Recordemos que según la segunda ley de Newton, las fuerzas provocan aceleración. La ley universal de la gravitación de Newton dice que la fuerza que actúa sobre (y por lo tanto la aceleración de) un objeto hacia la Tierra debe ser inversamente proporcional al cuadrado de su distancia desde el centro de la Tierra. Se observa que objetos como manzanas en la superficie de la Tierra, a una distancia de un radio terrestre del centro de la Tierra, aceleran hacia abajo a 9.8 metros por segundo por segundo (9.8\(\text{m}/\text{s}^2\)).
Es esta fuerza de gravedad sobre la superficie de la Tierra la que nos da nuestro sentido del peso. A diferencia de tu masa, que seguiría siendo la misma en cualquier planeta o luna, tu peso depende de la fuerza local de gravedad. Entonces pesarías menos en Marte y la Luna que en la Tierra, aunque no haya cambios en tu masa. (¡Lo que significa que aún tendrías que ir tranquilo con los postres en la cafetería de la universidad cuando regreses!)
La Luna está a 60 radios terrestres del centro de la Tierra. Si la gravedad (y la aceleración que provoca) se debilita con la distancia al cuadrado, la aceleración que experimenta la Luna debería ser mucho menor que para la manzana. La aceleración debe ser\((1/60)^2 = 1/3600\) (o 3600 veces menor, aproximadamente 0.00272\(\text{m}/\text{s}^2\). Esta es precisamente la aceleración observada de la Luna en su órbita. (Como veremos, la Luna no cae a la Tierra con esta aceleración, sino que cae alrededor de la Tierra). Imagínese la emoción que Newton debió sentir al darse cuenta de que había descubierto, y verificado, una ley que sostiene para la Tierra, las manzanas, la Luna y, hasta donde él sabía, todo en el universo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Cálculo del peso
¿En qué factor cambiaría el peso de una persona en la superficie de la Tierra si la Tierra tuviera su masa actual pero ocho veces su volumen actual?
Solución
Con ocho veces el volumen, el radio de la Tierra se duplicaría. Esto significa que la fuerza gravitacional en la superficie se reduciría en un factor de\((1/2)^2 = 1/4\), por lo que una persona pesaría solo una cuarta parte.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
¿En qué factor cambiaría el peso de una persona en la superficie de la Tierra si la Tierra tuviera su tamaño actual pero solo un tercio de su masa actual?
- Contestar
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Con un tercio de su masa actual, la fuerza gravitacional en la superficie se reduciría en un factor de 1/3, por lo que una persona pesaría sólo un tercio más.
La gravedad es una propiedad “incorporada” de la masa. Siempre que haya masas en el universo, interactuarán a través de la fuerza de atracción gravitacional. Cuanta más masa hay, mayor es la fuerza de atracción. Aquí en la Tierra, la mayor concentración de masa es, por supuesto, el planeta en el que nos encontramos, y su atracción domina las interacciones gravitacionales que experimentamos. Pero todo con masa atrae a todo lo demás con masa en cualquier parte del universo.
La ley de Newton también implica que la gravedad nunca se convierte en cero. Rápidamente se debilita con la distancia, pero sigue actuando hasta cierto punto sin importar lo lejos que te encuentres. El tirón del Sol es más fuerte en Mercurio que en Plutón, pero se puede sentir mucho más allá de Plutón, donde los astrónomos tienen buena evidencia de que continuamente hace que enormes cantidades de cuerpos helados más pequeños se muevan alrededor de enormes órbitas. Y la atracción gravitacional del Sol se une con la atracción de miles de millones de otras estrellas para crear la atracción gravitacional de nuestra Galaxia Vía Láctea. Esa fuerza, a su vez, puede hacer que otras galaxias más pequeñas orbiten alrededor de la Vía Láctea, y así sucesivamente.
¿Por qué entonces, tal vez pregunten, que los astronautas a bordo del Transbordador Espacial parecen no tener fuerzas gravitacionales que actúen sobre ellos cuando vemos imágenes en televisión de los astronautas y objetos flotando en la nave espacial? Después de todo, los astronautas en el transbordador están a solo unos cientos de kilómetros por encima de la superficie de la Tierra, lo que no es una distancia significativa en comparación con el tamaño de la Tierra, por lo que la gravedad ciertamente no es mucho más débil que mucho más lejos. Los astronautas se sienten “ingrápidos” (es decir, que no sienten la fuerza gravitacional que actúa sobre ellos) por la misma razón que los pasajeros en un elevador cuyo cable se ha roto o en un avión cuyos motores ya no funcionan se sienten ingrápidos: están cayendo (Figura\(\PageIndex{1}\)). 1
Al caer, están en caída libre y aceleran al mismo ritmo que todo a su alrededor, incluyendo su nave espacial o una cámara con la que están tomando fotografías de la Tierra. Al hacerlo, los astronautas no experimentan fuerzas adicionales y, por lo tanto, se sienten “ingrávidas”. A diferencia de los pasajeros del elevador que caen, sin embargo, los astronautas están cayendo alrededor de la Tierra, no a la Tierra; como resultado seguirán cayendo y se dice que están “en órbita” alrededor de la Tierra (ver la siguiente sección para más información sobre órbitas).
Movimiento Orbital y Masa
Las leyes de Kepler describen las órbitas de los objetos cuyos movimientos son descritos por las leyes del movimiento de Newton y la ley de la gravedad. Saber que la gravedad es la fuerza que atrae a los planetas hacia el Sol, sin embargo, permitió a Newton repensar la tercera ley de Kepler. Recordemos que Kepler había encontrado una relación entre el período orbital de la revolución de un planeta y su distancia del Sol. Pero la formulación de Newton introduce el factor adicional de las masas del Sol (M 1) y el planeta (M 2), ambos expresados en unidades de la masa del Sol. La ley universal de la gravitación de Newton se puede utilizar para demostrar matemáticamente que esta relación es en realidad
\[a^3=(M_1+M_2) \times P^2 \nonumber\]
donde\(a\) está el eje semimajor y\(P\) es el periodo orbital.
¿Cómo se perdió Kepler este factor? En unidades de la masa del Sol, la masa del Sol es 1, y en unidades de la masa del Sol, la masa de un planeta típico es un factor insignificantemente pequeño. Esto quiere decir que la suma de la masa del Sol y la masa de un planeta, (\(M_1 + M_2\)), es muy, muy cercana a 1. Esto hace que la fórmula de Newton parezca casi la misma que la de Kepler; la pequeña masa de los planetas comparada con el Sol es la razón por la que Kepler no se dio cuenta de que ambas masas tenían que incluirse en el cálculo. Sin embargo, hay muchas situaciones en la astronomía en las que sí necesitamos incluir los dos términos de masa, por ejemplo, cuando dos estrellas o dos galaxias orbitan entre sí.
Incluir el término masivo nos permite utilizar esta fórmula de una manera nueva. Si podemos medir los movimientos (distancias y periodos orbitales) de objetos que actúan bajo su gravedad mutua, entonces la fórmula nos permitirá deducir sus masas. Por ejemplo, podemos calcular la masa del Sol usando las distancias y periodos orbitales de los planetas, o la masa de Júpiter observando los movimientos de sus lunas.
En efecto, la reformulación de Newton de la tercera ley de Kepler es uno de los conceptos más poderosos de la astronomía. Nuestra capacidad para deducir las masas de objetos de sus movimientos es clave para comprender la naturaleza y evolución de muchos cuerpos astronómicos. Utilizaremos esta ley repetidamente a lo largo de este texto en cálculos que van desde las órbitas de los cometas hasta las interacciones de las galaxias.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Cálculo de los Efectos de la Gravedad
Un planeta como la Tierra se encuentra orbitando su estrella a una distancia de 1 UA en 0.71 Tierra-año. ¿Puedes usar la versión de Newton de la tercera ley de Kepler para encontrar la masa de la estrella? (Recuerda que en comparación con la masa de una estrella, la masa de un planeta terrenal puede considerarse insignificante).
Solución
En la fórmula\(a^3 = (M_1 + M_2) \times P_2\), el factor\(M_1 + M_2\) sería ahora aproximadamente igual a\(M_1\) (la masa de la estrella), ya que la masa del planeta es tan pequeña en comparación. Entonces la fórmula se convierte\(a_3 = M_1 \times P_2\), y podemos resolver para\(M_1\):
\[M_1= \frac{a^3}{P^2} \nonumber\]
Ya que\(a = 1\),\(a^3 = 1\), entonces
\[M_1= \frac{1}{P_2}= \frac{1}{0.71^2}=\frac{1}{0.5}=2 \nonumber\]
Entonces la masa de la estrella es el doble de la masa de nuestro Sol. (Recordad que esta forma de expresar la ley tiene unidades en términos de la Tierra y el Sol, por lo que las masas se expresan en unidades de la masa de nuestro Sol.)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Supongamos que una estrella con el doble de masa de nuestro Sol tuviera un planeta terrenal que tardó 4 años en orbitar la estrella. ¿A qué distancia (eje semimajor) este planeta orbitaría su estrella?
- Contestar
-
Nuevamente, podemos descuidar la masa del planeta. Entonces\(M_1 = 2\) y\(P = 4\) años. La fórmula es\(a^3 = M_1 \times P_2\), entonces\(a^3 = 2 \times 4^2 = 2 × 16 = 32\). Entonces a es la raíz cubo de 32. Para encontrar esto, solo puedes preguntar a Google, “¿Cuál es la raíz cubo de 32?” y obtén la respuesta 3.2 AU.
Quizás quieras probar una simulación que te permita mover el Sol, la Tierra, la Luna y la estación espacial para ver los efectos de cambiar sus distancias en sus fuerzas gravitacionales y trayectorias orbitales. Incluso se puede apagar la gravedad y ver qué pasa.
Resumen
La gravedad, la fuerza atractiva entre todas las masas, es lo que mantiene a los planetas en órbita. La ley universal de la gravitación de Newton relaciona la fuerza gravitacional con la masa y la distancia:
\[F_{gravity}=G \dfrac{M_1M_2}{R^2} \nonumber\]
La fuerza de la gravedad es lo que nos da nuestro sentido del peso. A diferencia de la masa, que es constante, el peso puede variar dependiendo de la fuerza de gravedad (o aceleración) que sientas. Cuando las leyes de Kepler son reexaminadas a la luz de la ley gravitacional de Newton, queda claro que las masas de ambos objetos son importantes para la tercera ley, que se convierte en
\[a^3 = (M_1 + M_2) \times P^2 \nonumber\]
Los efectos gravitacionales mutuos nos permiten calcular las masas de objetos astronómicos, desde cometas hasta galaxias.
Notas al pie
2 En la película Apolo 13, las escenas en las que los astronautas eran “ingrávidas” se filmaron en realidad en un avión que caía. Como se podría imaginar, el avión cayó sólo por cortos periodos antes de que los motores se pusieran de nuevo en marcha.
Glosario
- gravedad
- la atracción mutua de cuerpos o partículas materiales