1.1: Introducción a los métodos numéricos

Creo que, cuando era un estudiante joven, tenía una vaga creencia ingenua de que cada Ecuación tenía como solución una fórmula algebraica explícita, y cada función a integrar tenía una función analítica explícita similar para la respuesta. Me resultó bastante abridor de ojos cuando comencé a darme cuenta de que esto estaba lejos de ser el caso. Hay muchas operaciones matemáticas para las que no existe una fórmula explícita, y aún más para las cuales las soluciones numéricas son más fáciles, o más rápidas o más convenientes que las soluciones algebraicas. También recuerdo estar impresionado como estudiante con el aparentemente interminable número de “funciones especiales” cuyas propiedades estaban listadas en libros de texto y que temía que tuviera que memorizar y dominar. Por supuesto, ahora tenemos computadoras, y a lo largo de los años me he dado cuenta de que muchas veces es más fácil generar soluciones numéricas a los problemas en lugar de tratar de expresarlos en términos de oscuras funciones especiales con las que pocas personas están honestamente familiarizadas. Ahora bien, lejos de creer que cada problema tiene una solución algebraica explícita, sospecho que las soluciones algebraicas a los problemas pueden ser una minoría, y las soluciones numéricas a muchos problemas son la norma.

Este capítulo no pretende ser un curso integral en métodos numéricos. Más bien trata, y sólo de una manera bastante básica, de los problemas muy comunes de la integración numérica y la solución de simple (¡y no tan simple!) Ecuaciones. Los astrónomos especialistas hoy en día pueden generar la mayoría de las tablas planetarias por sí mismos; pero los que no están tan especializados todavía tienen la necesidad de buscar datos en tablas como El Almanaque Astronómico, y por ello he agregado una breve sección sobre interpolación, que espero pueda ser útil. Si bien cualquiera de estos temas podría ampliarse mucho, esta sección debería ser útil para muchos propósitos computacionales cotidianos.

No me ocupo en este capítulo introductorio del enorme tema de las Ecuaciones diferenciales. Estos necesitan un libro en sí mismos. Sin embargo, hay un ejemplo que recuerdo de los días de estudiante que me ha quedado en la mente desde entonces. En aquellos días, los cálculos los realizaban calculadoras mecánicas manuales, una de las cuales todavía poseo con cariño, y la velocidad y la eficiencia, así como la precisión, eran una preocupación primordial -como de hecho siguen siendo hoy en día en una era de computadoras electrónicas de asombrosa velocidad. El problema fue este: Dada la Ecuación Diferencial

\[ \frac{dy}{dx}= \frac{x+y}{x-y} \label{1.1.1} \]

con condiciones iniciales\(y = 0\) cuando\(x = 1\), tabular\(y\) en función de\(x\). Sucede que la Ecuación diferencial puede resolverse fácilmente analíticamente:

\[\ln(x^2 + y^2)= \ 2 \tan^{-1}(y/x) \tag{1.1.2}\label{1.1.2}\]

Sin embargo, es mucho más rápido y más fácil tabular\(y\) en función del\(x\) uso de técnicas numéricas directamente de la Ecuación diferencial original\ ref {1.1.1} que de su solución analítica\ ref {1.1.2}.