1.7: Ecuaciones lineales simultáneas, N = n

Considerar las ecuaciones

\[a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + a_{14} x_4 + a_{15} x_5 = b_1 \label{1.7.1}\]

\[a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + a_{24} x_4 + a_{25}x_{5} = b_2 \label{1.7.2}\]

\[a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 + a_{34} x_4 + a_{35}x_{5} = b_3 \label{1.7.3}\]

\[a_{41} x_1 + a_{42} x_2 + a_{43} x_3 + a_{44} x_4 + a_{45}x_{5} = b_4 \label{1.7.4}\]

\[a_{51} x_1 + a_{52} x_2 + a_{53} x_3 + a_{54} x_4 + a_{55}x_{5} = b_5 \label{1.7.5}\]

Existen dos métodos bien conocidos para resolver estas Ecuaciones. Una de ellas se llama Regla de Cramer. \(D\)Sea el determinante de los coeficientes. \(D_i\)Sea el determinante obtenido sustituyendo el vector de columna de las constantes\(b_1, \ b_2, \ b_3, \ b_4, \ b_5\) por la\(i\) ésima columna en\(D\). Entonces las soluciones son

\[x_i = D_i / D \label{1.7.6}\]

Este es un teorema interesante en la teoría de los determinantes. Debe quedar claro, sin embargo, que, cuando se trata de la solución numérica práctica de un conjunto de Ecuaciones lineales que se pueden encontrar en la práctica, este es probablemente el método más laborioso y más largo jamás ideado en la historia de las matemáticas.

El segundo método bien conocido es escribir las Ecuaciones en forma de matriz:

\[\mathbb{A}\textbf{x} = \textbf{b}\]

Aquí\(\mathbb{A}\) está la matriz de los coeficientes,\(\textbf{x}\) es el vector de columna de incógnitas, y\(\textbf{b}\) es el vector de columna de las constantes. Las soluciones son dadas entonces por

\[\textbf{x} = \mathbb{A}^{-1} \textbf{b}, \label{1.7.8} \tag{1.7.8}\]

donde\(\mathbb{A}^{-1}\) es el inverso o recíproco de\(\mathbb{A}\). Así el problema se reduce a invertir una matriz. Ahora invertir una matriz es notoriamente intensivo en mano de obra, y, si bien el método no es tan largo como la Regla de Cramer, todavía es demasiado largo para fines prácticos.

¿Cómo, entonces, debería resolverse un sistema de Ecuaciones lineales?

Considerar las ecuaciones

\[7x - 2y = 24\]

\[3x + 9y = 30\]

Pocos dudarían en multiplicar la primera Ecuación por 3, la segunda Ecuación por 7, y restar. Esto es lo que a todos nos enseñaron en nuestros días más jóvenes, pero pocos se dan cuenta de que esto sigue siendo, a pesar del conocimiento de determinantes y matrices, el método más rápido y eficiente para resolver Ecuaciones lineales simultáneas. Veamos cómo funciona con un sistema de varias Ecuaciones en varias incógnitas.

Considerar las ecuaciones

\[9x_1 - 9x_2 + 8x_3 - 6x_4 + 4x_5 = -9\]

\[5x_1 - x_2 + 6x_3 + x_4 + 5x_5 = 58\]

\[2x_1 + 4x_2 - 5x_3 - 6x_4 + 7x_5 = -1\]

\[2x_1 + 3x_2 - 8x_3 - 5x_4 - 2x_5 = -49\]

\[8x_1 - 5x_2 + 7x_3 + x_4 + 5x_5 = 42\]

Primero eliminamos\(x_1\) de las Ecuaciones, dejando cuatro Ecuaciones en cuatro incógnitas. Después eliminamos\(x_2\), dejando tres Ecuaciones en tres incógnitas. Entonces\(x_3\), y luego\(x_4\), dejando finalmente una sola Ecuación en una desconocida. En la siguiente tabla se muestra cómo se hace.

En las columnas 2 a 5 se listan los coeficientes de\(x_1\)\(x_2\),\(x_3\),,\(x_4\) y\(x_5\), y en la columna 6 están los términos constantes en el lado derecho de las Ecuaciones. Así, las columnas 2 a 6 de las primeras cinco filas son solo las Ecuaciones originales. La columna 7 es la suma de los números en las columnas 2 a 6, y esta es una columna de lo más importante. Los números de negritas en la columna 1 son simplemente etiquetas.

Las líneas 6 a 9 muestran la eliminación de\(x_1\). La línea 6 muestra la eliminación\(x_1\) de las líneas 1 y 2 multiplicando la línea 2 por 9 y la línea 1 por 5 y restando. La operación realizada se registra en la columna 1. En la línea 7,\(x_1\) se elimina de las Ecuaciones 1 y 3 y así sucesivamente.

\ begin {array} {l c c c c c c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & b &\ sum\\
\ textbf {1} & 9 & -9 & 8 & -6 & 4 & -9 & -3\
\ textbf {2} & 5 & -1 y 6 & 1 & 5 & 58 y 74\\
\ textbf {3} & 2 & 4 & -5 & -6 & 7 & -1 & 1\
\\ textbf {4} & 2 & 3 & -8 & -5 & -2 & -49 & -59\
\ textbf {5} & 8 & -5 & 7 & 1 & 5 & 42 & 58\
\\
\ textbf {6} = 9\ times\ textbf { 2} - 5\ veces\ textbf {1} && 36 & 14 & 39 & 25 & 567 & 681\\
\ textbf {7} = 2\ veces\ textbf {1} - 9\ veces\ textbf {3} && -54 & 61 & 42 & -55 & -9 & -15\\
\ textbf {8} =\ textbf {3} -\ tbf f {4} && 1 & 3 & -1 & 9 & 48 & 60\\
\ textbf {9} = 4\ veces\ textbf {3} -\ textbf {5} && 21 & -27 & -25 & 23 & -46 & -54\
\\
\ textbf {10} = 3\ times\ textbf {6} + 2\ times\ textbf {7} &&& 164 & 201 & -35 & 1\ 683 y 2\ 013\\
\ textbf {11} =\ textbf {6} - 36\ veces\ textbf {8} &&& -94 & 75 & -299 & -1\ 161 & -1\ 479\
\ textbf {12} = 7\ veces\ textbf {6} - 12\ veces\ textbf {9} &&& 422 & 573 & -101 & 4\ 521 & 5\ 415\\
\\
\ textbf {13} = 47\ veces\ textbf {10} + 82\ veces\ textbf {11} &&&& 15\ 597 & -26\ 163 & -16\ 101 & -26\ 667\
\ textbf {14} = 211\ times\ textbf {11} + 47\ times\ textbf {12} & &&&&42\ 756 & -67\ 836 y -32\ 484 y -57\ 654\\
\\
\ textbf {15} = 5199\ times\ textbf {14} - 14252\ times\ textbf {13} &&&&& & 20\ 195\ 712 & 60\ 587\ 136 & 80\ 782\ 848\
\ end {array}

El propósito de\(Σ\)? Esta columna es de gran importancia. Cualquier operación que se realice en las columnas anteriores también se realiza en\(Σ\), y\(Σ\) debe seguir siendo la suma de las columnas anteriores. Si no lo hace, entonces se ha cometido un error aritmético, y se detecta de inmediato. No hay nada más descorazonador que descubrir al final de un cálculo que se ha cometido un error y que uno no tiene idea de dónde ocurrió el error. La búsqueda de errores lleva mucho más tiempo que el cálculo original. La\(Σ\) columna -permite detectar y corregir un error tan pronto como se haya cometido.

Finalmente llegamos a la línea 15, que es

\[20 \ 195 \ 712 x_5 = 60 \ 587 \ 136 , \]

de la cual\[x_5 = 3.\]

\(x_4\)ahora se puede encontrar fácilmente de una o ambas líneas 13 y 14, se\(x_3\) puede encontrar de cualquiera o todas las líneas 10, 11 y 12, y así sucesivamente. Cuando el cálculo esté completo, las respuestas deben verificarse por sustitución en las Ecuaciones originales (o en la suma de las cinco Ecuaciones). Para que conste, las soluciones son\(x_1 = 2, \ x_2 = 7, \ x_3 = 6, \ x_4 = 4\) y\(x _5 = 3\).

Por supuesto, si solo tienes dos Ecuaciones simultáneas que resolver, es fácil anotar expresiones algebraicas explícitas para las soluciones, y esa puede ser la forma más rápida y eficiente de hacerlo. Por lo tanto, si

\[a_{11} x + a_{12} y = b_1 \label{1.7.9} \tag{1.7.9}\]

y\[a_{21} x + a_{22} y = b_2, \label{1.7.10} \tag{1.7.10}\]

las soluciones son

\[x = c(b_1 a_{22} - b_2 a_{12}) \label{1.7.11} \tag{1.7.11}\]

y\[y = c(b_2 a_{11} - b_1 a_{21} ), \label{1.7.12} \tag{1.7.12}\]

donde\[c = 1/(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}). \label{1.7.13}\]