1.6: Fracaso del Método Newton-Raphson

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Esta sección se escribe a regañadientes, por temor puede dar la impresión de que el método Newton-Raphson frecuentemente falla y es de utilidad limitada. Este no es el caso; en casi todos los casos encontrados en la práctica es muy rápido y no requiere una primera suposición particularmente buena. Sin embargo, para completar cabe señalar que hay raras ocasiones en las que el método falla o converge bastante lentamente.

Un ejemplo es la ecuación quintica que acabamos de encontrar:

\[205 + 111x + 4x^2 - 31x^3 -10x^4 + 5x^5 = 0 \label{1.6.1}\]

Cuando elegimos\(x = 0\) como nuestra primera conjetura, llegamos a una solución bastante rápido. Si hubiéramos elegido\(x = 1\), no hubiéramos tenido tanta suerte, porque la primera iteración nos habría llevado a −\(281\), un camino muy largo de cualquiera de las soluciones reales. La iteración repetida eventualmente nos llevará a la solución correcta, pero solo después de muchas iteraciones. Esta no es una situación típica, y por lo general casi cualquier conjetura servirá.

Otro ejemplo de una Ecuación que da alguna dificultad es

\[x = \tan x , \label{1.6.2}\]

una Ecuación que ocurre en la teoría de la difracción de una sola rendija.

Tenemos\[f(x) = x - \tan x = 0 \label{1.6.3}\]

y\[f^\prime (x) = 1 - \sec^2 x = - \tan^2 x . \label{1.6.4}\]

El proceso Newton-Raphson toma la forma

\[x = x + \frac{x-\tan x}{\tan^2 x}. \label{1.6.5}\]

La solución es\(x = 4.493 \ 409\), pero para lograr esto la primera conjetura debe ser entre\(4.3\) y\(4.7\). Esto nuevamente es inusual, y en la mayoría de los casos casi cualquier primera suposición razonable da como resultado una rápida convergencia.

La Ecuación

\[1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 = 0 \label{1.6.6}\]

es un candidato obvio a las dificultades. Las cuatro soluciones idénticas son\(x = 1\), pero en\(x = 1\) no sólo es\(f(x)\) cero, sino que también lo es\(f^\prime (x)\). A medida que\(x = 1\) se acerca la solución, la convergencia se vuelve muy lenta, pero eventualmente la computadora o calculadora registrará un mensaje de error ya que intenta dividir por el casi cero\(f^\prime (x)\).

Mencioné solo un último ejemplo muy brevemente. Al discutir órbitas, nos encontraremos con una Ecuación conocida como Ecuación de Kepler. El proceso de Newton-Raphson casi siempre resuelve la Ecuación de Kepler con una velocidad espectacular, incluso con una primera suposición muy pobre. Sin embargo, hay algunas ocasiones muy raras. casi nunca se encuentran en la práctica, donde el método falla. Discutiremos esta Ecuación en el Capítulo 9.