1.16: Cuadratura Gaussiana - Derivación

Para entender por qué la cuadratura gaussiana funciona tan bien, primero necesitamos entender algunas propiedades de los polinomios en general, y de los polinomios de Legendre en particular. También debemos recordarnos el uso de polinomios de Lagrange para aproximar una función arbitraria.

Primero, una declaración concerniente a los polinomios en general:\(P\) Sea un polinomio de grado\(n\), y\(S\) déjese ser un polinomio de grado menor que\(2n\). Entonces, si dividimos\(S\) por\(P\), obtenemos un cociente\(Q\) y un resto\(R\), cada uno de los cuales es un polinomio de grado menor que\(n\).

Es decir:\[\frac{S}{P} = Q + \frac{R}{P}. \label{1.16.1} \tag{1.16.1}\]

Lo que esto significa se entiende mejor al mirar un ejemplo, con\(n = 3\). Por ejemplo,

dejar\[P = 5x^3 - 2x^2 + 3x + 7 \label{1.16.2} \tag{1.16.2}\]

y\[S = 9x^5 + 4x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 2x - 3. \label{1.16.3} \tag{1.16.3}\]

Si llevamos a cabo la división\(S ÷ P\) por el proceso ordinario de división larga, obtenemos

\[\frac{9x^5 + 4x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 2x - 3}{5x^3 - 2x^2 + 3x + 7} = 1.8x^2 + 1.52x - 1.472 - \frac{14.104x^2 + 4.224x - 7.304}{5x^3 - 2x^2 + 3x + 7}. \label{1.16.4} \tag{1.16.4}\]

Por ejemplo, si\(x = 3\), esto se convierte

\[\frac{2433}{133} = 19.288 - \frac{132.304}{133}. \]

El teorema dado por Ecuación\(\ref{1.16.1}\) es cierto para cualquier polinomio\(P\) de grado\(l\). En particular, es cierto si\(P\) es el polinomio de grado Legendre\(l\).

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A continuación una propiedad importante de los polinomios de Legendre, es decir, si\(P_n\) y\(P_m\) son polinomios Legendre de grado\(n\) y\(m\) respectivamente, entonces

\[\int_{-1}^1 P_n P_m dx = 0 \quad \text{unless } m = n. \label{1.16.5} \tag{1.16.5}\]

Esta propiedad se llama la propiedad ortogonal de los polinomios de Legendre.

Doy aquí una prueba. Aunque es sencillo, puede parecer formidable al principio, así que, en primera lectura, es posible que desee omitir la prueba e ir a la siguiente parte (después de la siguiente línea divisoria horizontal corta).

De la simetría de los polinomios de Legendre (ver figura\(\text{I.7}\)), son obvios los siguientes:

\[\int_{-1}^1 P_n P_m dx \neq 0 \quad \text{if } m=n\]

y\[\int_{-1}^1 P_n P_m = 0 \quad \text{if one (but not both) of } m \text{ or } n \text{ is odd}.\]

De hecho podemos ir más allá, y, como demostraremos,

\[\int_{-1}^1 P_n P_m dx = 0 \quad \text{unless } m = n , \text{ whether } m \text{ and } n \text{ are even or odd}.\]

Así\(P_m\) satisface la Ecuación diferencial (ver Ecuación 1.14.7)

\[(1-x^2) \frac{d^2P_m}{dx^2} - 2x \frac{dP_m}{dx} + m(m+1) P_m = 0, \label{1.16.6} \tag{1.16.6}\]

que también se puede escribir

\[\frac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \frac{dP_m}{dx} \right] + m(m+1) P_m = 0. \label{1.16.7} \tag{1.16.7}\]

Multiplicar por\(P_n\):

\[P_n \frac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \frac{dP_m}{dx} \right] + m(m+1)P_m P_n = 0, \label{1.16.8} \tag{1.16.8}\]

que también se puede escribir

\[\frac{d}{dx} \left[ (1-x^2) P_n \frac{dP_m}{dx} \right] - (1-x^2) \frac{dP_n}{dx} \frac{dP_m}{dx} + m(m+1) P_m P_n = 0. \label{1.16.9} \tag{1.16.9}\]

De manera similar, tenemos

\[\frac{d}{dx} \left[ (1 - x^2) P_m \frac{dP_n}{dx} \right] - (1-x^2) \frac{dP_n}{dx} \frac{dP_m}{dx} + n(n+1) P_m P_n = 0. \label{1.16.10} \tag{1.16.10}\]

Restar uno del otro:

\[\frac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \left( P_n \frac{dP_m}{dx} - P_m \frac{dP_n}{dx} \right) \right] + [m(m+1) - n(n+1)]P_m P_n = 0. \label{1.16.11} \tag{1.16.11}\]

Integrar de\(−1\) a\(+1\):

\[ \left[ (1-x^2) \left( P_n \frac{dP_m}{dx} - P_m \frac{dP_n}{dx} \right) \right]_{-1}^1 = [n(n+1) - m(m+1)] \int_{-1}^1 P_m P_n dx. \label{1.16.12} \tag{1.16.12}\]

El lado izquierdo es cero porque\(1 − x^2\) es cero en ambos límites.

Por lo tanto, salvo que\(m = n\),

\[\int_{-1}^1 P_m P_n dx = 0 . \quad \quad \text{Q.E.D.} \label{1.16.13} \tag{1.16.13}\]

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Ahora afirmo que, si\(P_l\) es el polinomio Legendre de grado\(l\), y si\(Q\) es algún polinomio de grado menor que\(l\), entonces

\[\int_{-1}^1 P_l Q dx = 0. \label{1.16.14} \tag{1.16.14}\]

Primero probaré esto, y luego daré un ejemplo, para ver qué significa.

Para iniciar la prueba, recordamos la relación de recursión (ver Ecuación 1.14.4 — aunque aquí estoy sustituyendo\(l\))\(l − 1\) para los polinomios de Legendre:

\[lP_l = (2l-1) xP_{l-1} - (l-1) P_{l-2} . \label{1.16.15} \tag{1.16.15}\]

La prueba será por inducción.

\(Q\)Sea cualquier polinomio de grado menor que l. Multiplique la relación anterior por\(Qdx\) e integre de\(−1\) a\(+1\):

\[l \int_{-1}^1 P_l Q dx = (2l-1) \int_{-1}^1 x P_{l-1} Q dx - (l-1) \int_{-1}^1 P_{l-2} Q dx. \label{1.16.16} \tag{1.16.16}\]

Si el lado derecho es cero, entonces el lado izquierdo también es cero.

Un corresponsal me ha sugerido una prueba mucho más sencilla. Señala que en principio podrías expandirte\(Q\) en Ecuación\(\ref{1.16.14}\) como una suma de polinomios de Legendre para los que se encuentra el grado más alto\(l-1\). Entonces, en virtud de la Ecuación\(\ref{1.16.13}\), cada término es cero.

Por ejemplo, vamos\(l = 4\), para que

\[P_{l-2} = P_2 = \frac{1}{2} (3x^2 - 1) \label{1.16.17} \tag{1.16.17}\]

y\[xP_{l-1} = xP_3 = \frac{1}{2} (5x^4 - 3x^2), \label{1.16.18} \tag{1.16.18}\]

y dejar\[Q = 2(a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 ) . \label{1.16.19} \tag{1.16.19}\]

Entonces es sencillo (y solo un poco tedioso) demostrar que

\[\int_{-1}^1 P_{l-2} Q dx = \left( \frac{6}{5} - \frac{2}{3} \right) a_2 \label{1.16.20} \tag{1.16.20}\]

y que\[\int_{-1}^1 xP_{l-1} Q dx = \left( \frac{10}{7} - \frac{6}{5} \right) a_2 . \label{1.16.21} \tag{1.16.21}\]

Pero\[7 \left( \frac{10}{7} - \frac{6}{5} \right) a_2 - 3 \left( \frac{6}{5} - \frac{2}{3} \right) a_2 = 0, \label{1.16.22} \tag{1.16.22}\]

y por lo tanto\[\int_{-1}^1 P_4 Q dx = 0 . \label{1.16.23} \tag{1.16.23}\]

Hemos demostrado que\[l \int_{-1}^1 P_l Q dx = (2l - 1) \int_{-1}^1 x P_{l-1} Q dx - (l - 1) \int_{-1}^1 P_{l-2} Q dx = 0 \label{1.16.24} \tag{1.16.24}\]

pues\(l = 4\), y por lo tanto es cierto para todos los integrales positivos\(l\).

Puedes usar esta propiedad para un truco de salón. Por ejemplo, se puede decir: “Piensa en cualquier polinomio. No me digas qué es — sólo dime su grado. Después multiplícalo por (aquí da un polinomio de Legendre de grado más que esto). Ahora integrarlo de\(−1\) a\(+1\). La respuesta es cero, ¿verdad?” (Aplausos.)

Así: Piensa en cualquier polinomio. \(3x^2 - 5x + 7\). Ahora multiplícalo por\(5x^3 - 3x\). Bien, eso es\(15x^5 - 25x^4 - 2x^3 + 15x^2 - 21x\). Ahora integrarlo de\(−1\) a\(+1\). La respuesta es cero.

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Ahora, dejemos\(S\) ser cualquier polinomio de grado menor que\(2l\). Dividámoslo por el polinomio Legendre de grado\(l\),\(P_l\), para obtener el cociente\(Q\) y un resto\(R\), ambos de grado menor que\(l\). Entonces afirmo que

\[\int_{-1}^1 Sdx = \int_{-1}^1 Rdx. \label{1.16.25} \tag{1.16.25}\]

Esto se desprende trivialmente de Ecuaciones\(\ref{1.16.1}\) y\(\ref{1.16.14}\). Así

\[\int_{-1}^1 S dx = \int_{-1}^1 (QP_l + R) dx = \int_{-1}^1 Rdx . \label{1.16.26} \tag{1.16.26}\]

Ejemplo: Let\(S = 6x^5 - 12x^4 + 4x^3 + 7x^2 - 5x + 7\). La integral de esto de\(−1\) a\(+1\) es\(13.86\). Si dividimos\(S\) por\(\frac{1}{2} (5x^3 - 3x)\), obtenemos un cociente de\(2.4x^2 - 4.8x + 3.04\) y un resto de\(-0.2x^2 - 0.44x + 7\). La integral de este último de\(−1\) a\(+1\) es también\(13.86\).

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Acabo de describir algunas propiedades de los polinomios de Legendre. Antes de entrar en la lógica detrás de la cuadratura gaussiana, recordémonos de la Sección 1.11 sobre los polinomios de Lagrange. Recordamos de esa sección que, si tenemos un conjunto de n puntos, la siguiente función:

\[y = \sum_{i=1}^n y_i L_i (x) \label{1.16.27} \tag{1.16.27}\]

(en el que\(n\) las funciones\(L_i(x )\)\(i = 1,n\),, son polinomios Lagrange de grado\(n-1)\) es el polinomio de grado\(n-1\) que pasa exactamente por los\(n\) puntos. Además, si tenemos alguna función\(f(x)\) que evaluamos en\(n\) puntos, entonces el polinomio

\[ y = \sum_{i=1}^n f(x_i) L_i (x) \label{1.16.28} \tag{1.16.28}\]

es una aproximación alegremente buena\(f(x)\) y, de hecho, puede usarse para interpolar entre puntos no tabulados, incluso si la función se tabula a intervalos irregulares. En particular, si\(f(x)\) es un polinomio de grado\(n − 1\), entonces la expresión\(\ref{1.16.28}\) es una representación exacta de\(f(x)\).

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Ya estamos listos para comenzar a hablar de cuadratura. Deseamos aproximar\(\int_{-1}^1 f(x) dx\) por una serie finita\(n\) -term

\[\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n c_i f(x_i), \label{1.16.29} \tag{1.16.29}\]

donde\(-1 < x_i < 1\). Para ello, podemos aproximarnos\(f(x)\) por el lado derecho de la Ecuación\(\ref{1.16.28}\), de manera que

\[\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \int_{-1}^1 \sum_{i=1}^n f(x_i) L_i (x) dx =\sum_{i=1}^nf(x_i)\int_{-1}^1L_i(x)dx. \label{1.16.30} \tag{1.16.30}\]

Recordemos que los polinomios de Lagrange en esta expresión son de grado\(n − 1\).

Los coeficientes requeridos para Ecuación\(\ref{1.16.29}\) son, por lo tanto

\[c_i = \int_{-1}^1 L_i (x) dx. \label{1.16.31} \tag{1.16.31}\]

Obsérvese que en esta etapa aún no se\(x_i\) han elegido los valores del; éstos se limitan meramente al intervalo [−1, 1].

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Ahora consideremos\(\int_{-1}^1 S(x) dx\), donde\(S\) está un polinomio de grado menor que\(2n\), como, por ejemplo, el polinomio de Ecuación\(\ref{1.16.3}\). Podemos escribir

\[\int_{-1}^1 S(x) dx = \int_{-1}^1 \sum_{i=1}^n S(x_i) L_i (x) dx = \int_{-1}^1 \sum_{i=1}^n L_i (x) [Q(x_i) P(x_i) + R(x_i)] dx. \label{1.16.32} \tag{1.16.32}\]

Aquí, como antes,\(P\) es un polinomio de grado\(n\), y\(Q\) y\(R\) son de grado menor que\(n\).

Si ahora elegimos\(x_i\) que sean las raíces de los polinomios de Legendre, entonces

\[\int_{-1}^1 S(x) dx = \int_{-1}^1 \sum_{i=1}^n L_i (x) R(x_i) dx. \label{1.16.33} \tag{1.16.33}\]

Tenga en cuenta que el integrando en el lado derecho de la ecuación\(\ref{1.16.33}\) es una representación exacta de\(R(x)\). Pero ya hemos demostrado (Ecuación\(\ref{1.16.26}\)) que\(\int_{-1}^1 S(x) dx = \int_{-1}^1 R(x) dx\), y por lo tanto

\[\int_{-1}^1 S(x) dx = \int_{-1}^1 R(x) dx = \sum_{i=1}^n c_i R(x_i) = \sum_{i=1}^n c_i S(x_i) . \label{1.16.34} \tag{1.16.34}\]

De ello se deduce que el método de cuadratura gaussiana, si elegimos las raíces de los polinomios de Legendre para las\(n\) abscisas, producirá resultados exactos para cualquier polinomio de grado menor que\(2n\), y producirá una buena aproximación a la integral si\(S(x)\) es una representación polinómica de un función general\(f(x)\) obtenida ajustando un polinomio a varios puntos de la función.