5.4.9: Esfera Sólida

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 131482

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Una esfera sólida es solo un montón de esferas huecas anidadas juntas. Por lo tanto, el campo en un punto externo es exactamente lo mismo que si toda la masa se concentrara en el centro, y el campo en un punto interno\(\text{P}\) es el mismo es si toda la masa interior a\(\text{P}\), es decir\(M_r\), se concentrara en el centro, la masa exterior a\(\text{P}\) no contribuir en absoluto al campo en\(\text{P}\). Esto es cierto no sólo para una esfera de densidad uniforme, sino de cualquier esfera en la que la densidad dependa únicamente de la distancia desde el centro —es decir, cualquier distribución esféricamente simétrica de la materia.

Si la esfera es uniforme, tenemos\(\frac{M_r}{M} = \frac{r^3}{a^3}\), así que el campo interior es

\[g = \frac{G M_r}{r^2} = \frac{GMr}{a^3}. \label{5.4.24} \tag{5.4.24}\]

Así, dentro de una esfera sólida uniforme, el campo aumenta linealmente de cero en el centro a\(GM / a^2\) en la superficie, y a partir de entonces se cae como\(GM/r^2\).

Si una esfera hueca uniforme tiene un orificio estrecho perforado a través de ella, y\(m\) se permite que una pequeña partícula de masa caiga a través del orificio, la partícula experimentará una fuerza hacia el centro de\(GMmr/a^3\), y consecuentemente oscilará con el período\(P\) dado por

\[P^2 = \frac{4 \pi^2}{GM}a^3. \label{5.4.25} \tag{5.4.25}\]