5.8.1: Potencial cerca de una masa puntual

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Definiremos el potencial de ser cero al infinito. Si estamos cerca de una masa puntual, siempre tendremos que trabajar para alejar una partícula de prueba de la masa. No alcanzaremos el potencial cero hasta que estemos a una distancia infinita. De ello se deduce que el potencial a cualquier distancia finita de una masa puntual es negativo. El potencial en un punto es el trabajo requerido para mover la masa unitaria del infinito al punto; es decir, es negativa.

Figura 5.23.png
\(\text{FIGURE V.23}\)

La magnitud del campo a una\(x\) distancia de una masa puntual\(M\) (figura\(\text{V.23}\)) es\(GM/x^2\), y la fuerza sobre una masa m colocada allí sería\(GMm/x^2\). El trabajo requerido para pasar\(m\) de\(x\) a\(x + δx\) es\(GMmδx/x^2\). El trabajo requerido para\(r\) moverlo del infinito es

\[GMm∫_r^∞ \frac{dx}{x^2} = \frac{GMm}{r}.\]

El trabajo requerido para mover la masa unitaria de\(∞\) a\(r\), cual es el potencial en\(r\) es

\[ψ = -\frac{GM}{r}. \label{5.8.1} \tag{5.8.1}\]

La energía potencial mutua de dos masas puntuales a una distancia r de distancia, que es el trabajo requerido para llevarlas a una\(r\) distancia de una separación inicial infinita, es

\[V = -\frac{GMm}{r}. \label{5.8.2} \tag{5.8.2}\]

Aquí resumo una serie de fórmulas de aspecto similar, aunque, por supuesto, no existe la más mínima posibilidad de confundirlas. Aquí va:

Fuerza entre dos masas:

\[F = \frac{GMm}{r^2}. \quad \text{N} \label{5.8.3} \tag{5.8.3}\]

Campo cerca de una masa puntual:

\[g = \frac{GM}{r^2}, \quad \text{N kg}^{-1} \ or \text{ m s}^{-2} \label{5.8.4} \tag{5.8.4}\]

que se puede escribir en forma vectorial como:

\[\textbf{g} = - \frac{GM}{r^2} \hat{\textbf{r}} \quad \text{N kg}^{-1} \ or \text{ m s}^{-2} \label{5.8.5} \tag{5.8.5}\]

o como:

\[\textbf{g} = -\frac{GM}{r^3} \textbf{r}. \quad \text{N kg}^{-1} \ or \text{ m s}^{-2} \label{5.8.6} \tag{5.8.6}\]

Energía potencial mutua de dos masas:

\[V = -\frac{GMm}{r}. \quad \text{J} \label{5.8.7} \tag{5.8.7}\]

Potencial cerca de una masa puntual:

\[ψ = -\frac{GM}{r}. \quad \text{J kg}^{-1} \label{5.8.8} \tag{5.8.8}\]

Espero que sea claro como el cristal.