5.8.2: Potencial en el Eje de un Anillo

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Podemos referirnos a la figura\(\text{V.1}\). El potencial a\(\text{P}\) partir del elemento\(δM\) es\(-\frac{GδM}{\left( a^2 + z^2 \right)^{1/2}}\). Esto es lo mismo para todos esos elementos alrededor de la circunferencia del anillo, y el potencial total es solo la suma escalar de las contribuciones de todos los elementos. Por lo tanto, el potencial total en el eje del anillo es:

\[ψ = - \frac{GM}{\left(a^2 + z^2 \right)^{1/2}}. \label{5.8.9} \tag{5.8.9}\]

El\(z\) -componente del campo (su único componente) es\(−d/dz\) de este, lo que da como resultado\(g = -\frac{GMz}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}}.\) Esto es lo mismo que la Ecuación 5.4.1 a excepción de signo. Cuando derivamos la Ecuación 5.4.1 nos preocupamos únicamente por la magnitud del campo. Aquí\(−dψ/dz\) da el\(z\) -componente del campo, y el signo menos indica correctamente que el campo está dirigido en la\(z\) dirección negativa. En efecto, dado que el potencial, al ser una cantidad escalar, es más fácil de trabajar que el campo, la forma más fácil de calcular un campo es primero calcular el potencial y luego diferenciarlo. Por otro lado, a veces es fácil calcular un campo a partir del teorema de Gauss, para luego calcular el potencial por integración. ¡Es agradable tener tantas formas fáciles de hacer física!