5.8.7: Cilindro Sólido

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Consulte la figura\(\text{V.8}\). El potencial del disco elemental es

\[dψ = -2 \pi G ρ δ z \left[ \left( z^2 + a^2 \right)^{1/2} - z \right] \label{5.8.21} \tag{5.8.21}\]

y por lo tanto el potencial de todo el cilindro es

\[ψ = const. - 2 \pi G ρ \left[ \int_h^{h+l} \left(z^2 + a^2 \right)^{1/2} dz - \int_h^{h+1} z dz \right]. \label{5.8.22} \tag{5.8.22}\]

Dejo al lector llevar a cabo esta integración y obtener una expresión final. Una forma de lidiar con la primera integral podría ser intentarlo\(z = a \tan θ\). Esto puede llevar a\(\int \sec^3 θ dθ\). A partir de ahí, podrías probar algo así como\(\int \sec^3 θ = \int \sec θ d \tan θ = \sec θ \tan θ - \int \tan θ d \sec θ = \sec θ \tan θ - \int \sec θ \tan^2 θ d θ = \sec θ \tan θ - \int \sec^3 θ + \int \sec θ d θ\), y así sucesivamente.