5.9: Trabajo requerido para ensamblar una esfera uniforme

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Imaginemos una esfera sólida uniforme de masa\(M\), densidad\(ρ\) y radio\(a\). En esta sección nos preguntamos, ¿cuánto trabajo se hizo para reunir todos los átomos que componen la esfera si los átomos inicialmente estaban todos separados unos de otros por una distancia infinita? Bueno, dado que los cuerpos masivos (como los átomos) se atraen entre sí por fuerzas gravitacionales, naturalmente eventualmente se congregarán juntos, por lo que de hecho tendrías que trabajar en desarmar la esfera y eliminar todos los átomos a una separación infinita. Para unir los átomos desde una separación infinita, la cantidad de trabajo que haces es negativa.

Supongamos que somos parte del camino a través del proceso de construcción de nuestra esfera y que, en la actualidad, es de radio\(r\) y de masa\(M_r = \frac{4}{3} \pi r^3 ρ\). El potencial en su superficie es

\[-\frac{GM_r}{r} = -\frac{G}{r} \cdot \frac{4\pi r^3 ρ}{3} = -\frac{4}{3} \pi G\rho r^2 .\]

La cantidad de trabajo requerida para agregar una capa de espesor\(δr\) y masa\(4π ρ r^2 δr\) a esto es

\[-\frac{4}{3} \pi G\rho r^2 \times 4 \pi r^2 ρδ r = -\frac{16}{3} \pi^2 G ρ^2 r^4 δr.\]

El trabajo realizado en el montaje de toda la esfera es la integral de esto desde\(r = 0\) hasta\(a\), que es

\[-\frac{16 \pi^2 G ρ^2 a^5}{15} = -\frac{3GM^2}{5a}. \label{5.9.1} \tag{5.9.1}\]