5.10: Nabla, Gradiente y Divergencia

Vamos a encontrarnos, en esta sección, con el símbolo\(\nabla\). En América del Norte generalmente se pronuncia “del”, aunque en el Reino Unido y en otros lugares a veces se escucha la pronunciación alternativa “nabla”, llamada después de un antiguo instrumento asirio similar a una arpa de aproximadamente esa forma.

En la sección 5.7, particularmente en la Ecuación 5.7.1, introdujimos la idea de que el campo gravitacional\(g\) es menos el gradiente del potencial, y escribimos\(g = −dψ/dx\). Esta Ecuación se refiere a una situación esencialmente unidimensional. En la vida real, el potencial gravitacional es una función escalar tridimensional\(ψ(x, y, z)\), que varía de punto a punto, y su gradiente es

\[\textbf{grad} ψ = \textbf{i} \frac{\partial ψ}{\partial x} + \textbf{j} \frac{\partial ψ}{\partial y} + \textbf{k} \frac{\partial ψ}{\partial x}, \label{5.10.1} \tag{5.10.1}\]

que es un campo vectorial cuya magnitud y dirección varían de un punto a otro. El campo gravitacional, entonces, viene dado por

\[\textbf{g} = -\textbf{grad} ψ . \label{5.10.2} \tag{5.10.2}\]

Aquí,\(\textbf{i}\),\(\textbf{j}\) y\(\textbf{k}\) están los vectores unitarios en las direcciones\(x\) -,\(y\) - y\(z\) -direcciones.

El operador\(\nabla\) es\(\textbf{i} \frac{\partial }{\partial x} + \textbf{j} \frac{\partial }{\partial y} + \textbf{k} \frac{\partial }{\partial x}\), para que la Ecuación 5.10.2 pueda escribirse

\[\textbf{g} = -\nabla ψ . \label{5.10.3} \tag{5.10.3}\]

Supongo que uno podría escribir un libro largo sobre\(\nabla\), pero voy a tratar de restringirme en esta sección a algunos básicos básicos.

Supongamos que tenemos algún campo vectorial, que bien podríamos suponer que es un campo gravitacional, así lo llamaré\(\textbf{g}\). (Si no quieres estar restringido a un campo gravitacional, simplemente llama al campo\(\textbf{A}\) como algún tipo de campo vectorial indefinido o general). Podemos calcular la cantidad

\[\nabla \cdot \textbf{g} = \left( \textbf{i} \frac{\partial}{\partial x} + \textbf{j} \frac{\partial}{\partial x} + \textbf{k} \frac{\partial}{\partial x} \right) \cdot \left( \textbf{i} g_x + \textbf{j} g_y + \textbf{k} g_z \right) . \label{5.10.4} \tag{5.10.4}\]

Cuando esto se multiplica, obtenemos un campo escalar llamado la divergencia de\(\textbf{g}\):

\[\nabla \cdot \textbf{g} = \text{div} \textbf{g} = \frac{\partial g_x}{\partial x} + \frac{\partial g_y}{\partial y} + \frac{\partial g_z}{\partial z}. \label{5.10.5} \tag{5.10.5}\]

¿Esto es de algún uso?

Aquí hay un ejemplo de una posible aplicación útil. Imaginemos que tenemos algún campo\(\textbf{g}\) que varía en magnitud y dirección a través de algún volumen de espacio. Cada uno de los componentes\(g_x\),\(g_y\),,\(g_z\) puede escribirse como funciones de las coordenadas. Ahora supongamos que queremos calcular la integral superficial de g a través del límite cerrado del volumen de espacio en cuestión. ¿Te imaginas lo que podría ser un dolor de cabeza? Por ejemplo, supongamos eso\(g = x^2 \textbf{i} − xy \textbf{j} − xz \textbf{k}\), y yo iba a pedirles que calcularan la superficie integral sobre la superficie del elipsoide\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1.\) Sería difícil saber por dónde empezar.

Bueno, hay un teorema, que no voy a derivar aquí, pero que se puede encontrar en muchos libros sobre física matemática, y no es particularmente difícil, que dice:

La integral superficial de un campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de su divergencia.

En símbolos:

\[\int \int \textbf{g} \cdot d \textbf{A} = \int \int \int div \textbf{g} dV. \label{5.10.6} \tag{5.10.6}\]

Si sabemos\(g_x\),\(g_y\) y\(g_z\) como funciones de las coordenadas, entonces a menudo es muy simple y directo calcular la divergencia de\(\textbf{g}\), que es una función escalar, y entonces a menudo es igualmente sencillo calcular la integral de volumen. El ejemplo que di en el párrafo anterior es trivialmente simple (es un ejemplo bastante artificial, diseñado para ser ridículamente simple) y fácilmente encontrarás que\(\text{div} \ \textbf{g}\) está en todas partes cero, y así la superficie integral sobre el elipsoide es cero.

Si combinamos este teorema muy general con el teorema de Gauss (que se aplica a un campo cuadrado inverso), que es que la integral superficial del campo sobre un volumen cerrado es igual a\(−4 \pi G\) veces la masa encerrada (Ecuación 5.5.1) entendemos inmediatamente que la divergencia de\(\textbf{g}\) en cualquier punto está relacionado con la densidad en ese punto y de hecho que

\[\text{div } \textbf{g} = \nabla \cdot \textbf{g} = -4 \pi G ρ. \label{5.10.7} \tag{5.10.7}\]

Esto puede ayudar a darle un poco más de significado físico a la divergencia. En un punto en el espacio donde la densidad local es cero, div\(\textbf{g}\), por supuesto, también es cero.

Ahora Ecuación nos\(\ref{5.10.2}\) dice eso\(\textbf{g} = −\nabla ψ\), para que también tengamos

\[\nabla \cdot (-\nabla ψ) = - \nabla \cdot (\nabla ψ) = -4 \pi G ρ. \label{5.10.8} \tag{5.10.8}\]

Si escribes las expresiones para\(\nabla\) y para\(\nabla ψ\) en su totalidad y calculas el producto punto, encontrarás que\(\nabla \cdot (\nabla ψ)\), que también está escrito\(\nabla^2 ψ\), es\(\frac{\partial^2 ψ}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 ψ}{dy^2} + \frac{\partial^2 ψ}{\partial z^2}\). Así obtenemos

\[\nabla^2 ψ = \frac{\partial^2 ψ}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 ψ}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 ψ}{\partial z^2} = 4 \pi G ρ. \label{5.10.9} \tag{5.10.9}\]

Esta es la Ecuación de Poisson. En cualquier punto del espacio donde la densidad local sea cero, se convierte

\[\nabla^2 ψ = 0 \label{5.10.10} \tag{5.10.10}\]

que es la Ecuación de Laplace. Así, no importa cuán complicada sea la distribución de la masa, el potencial en función de las coordenadas debe satisfacer estas Ecuaciones.

Dejamos aquí este tema. Se pueden encontrar más detalles en libros sobre física matemática; nuestro objetivo aquí era solo obtener alguna sensación por el significado físico. Añado solo unos pequeños comentarios. Una es, sí, ciertamente es posible operar en un campo vectorial con el operador\(\nabla \times\). Así, si\(\textbf{A}\) es un campo vectorial,\(\nabla \times \textbf{A}\) se llama el\(\textbf{curl}\) de\(\textbf{A}\). El\(\textbf{curl}\) de un campo gravitacional es cero, por lo que no hay necesidad de mucha discusión al respecto en un capítulo sobre campos gravitacionales. Sin embargo, si tienes ocasión de estudiar la dinámica de fluidos o el electromagnetismo, necesitarás familiarizarte mucho con ello. Particularmente llamo su atención sobre un teorema que dice

La integral de línea de un campo vectorial alrededor de un circuito plano cerrado es igual a la integral de la superficie de su rizo.

Esto le permitirá calcular fácilmente integrales de línea bidimensionales de manera similar a aquella en la que el teorema de divergencia le permite calcular integrales tridimensionales de superficie.

Otro comentario es que muy a menudo los cálculos se realizan en coordenadas esféricas en lugar de rectangulares. Las fórmulas para\(\textbf{grad}\), div,\(\textbf{curl}\) y\(\nabla^2\) son entonces bastante más complicadas que sus formas simples en coordenadas rectangulares.

Por último, hay decenas y decenas de fórmulas relacionadas con nabla en los libros, como “\(\textbf{curl curl} = \textbf{grad}\)div menos nabla-cuadrado”. Si bien ciertamente nunca deben ser memorizados, ciertamente vale la pena familiarizarse con ellos, aunque no los necesitemos de inmediato aquí.