5.11: Polinomios de Legendre
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En esta sección cubrimos lo suficiente sobre los polinomios de Legendre para ser útiles en la siguiente sección. Antes de comenzar, quiero que amplíes la siguiente expresión, por el teorema binomial\(| x |< 1\), para, hasta\(x^4\):
\[\dfrac{1}{(1-2x \cos θ + x^2)^{1/2}}. \label{5.11.1} \tag{5.11.1}\]
Por favor, adelante y hazlo. Bueno, probablemente no lo harás, así que será mejor que lo haga yo mismo:
Voy a empezar con
\[(1-X)^{-1/2} = 1 + \dfrac{1}{2} X + \dfrac{3}{8} X^2 + \dfrac{5}{16} X^3 + \dfrac{35}{128} X^4 ... \label{5.11.2} \tag{5.11.2}\]
y por lo tanto
\[ [1-x(2\cos θ - x)]^{-1/2} = 1 + \dfrac{1}{2} x (2\cos θ - x) + \dfrac{3}{8} x^2 (2\cos θ - x)^2 + \dfrac{5}{16} x^3 (2\cos θ - x)^3 + \dfrac{35}{128} x^4 (2\cos θ - x)^4 ... \label{5.11.3} \tag{5.11.3}\]
\[= 1 + x \cos θ - \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{3}{8}x^2 (4 \cos^2 θ - 4x \cos θ + x^2 ) + \dfrac{5}{16} x^3 (8 \cos^3 θ - 12x \cos^2 θ + 6x^2 \cos θ - x^3) + \dfrac{35}{128} x (16 \cos^4 θ - 32x \cos^3 θ + 24x^2 \cos^2 θ - 8x^3 \cos θ + x^4 ) ... \label{5.11.4} \tag{5.11.4}\]
\[= 1 + x \cos θ + x^2 (-\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \cos^2 θ ) + x^3 (-\dfrac{3}{2} \cos θ + \dfrac{5}{2} \cos^3 θ ) + x^4 (\dfrac{3}{8} - \dfrac{15}{4} \cos^2 θ + \dfrac{35}{8} \cos^4 θ)... \label{5.11.5} \tag{5.11.5}\]
Los coeficientes de las potencias de\(x\) son los polinomios de Legendre\(P_l(\cos θ )\), de manera que
\[\dfrac{1}{(1-2x \cos θ + x^2)^{1/2}} = 1 + x P_1 ( \cos θ) + x^2 P_2 (\cos θ) + x^3 P_3 (\cos θ) + x^4 P_4 (\cos θ) + ... \label{5.11.6} \tag{5.11.6}\]
Los polinomios de Legendre con argumento\(\cos θ\) pueden escribirse como series de términos en poderes de\(\cos θ\) por sustitución de\(\cos θ\) para\(x\) en Ecuaciones 1.12.5 en la Sección 1.12 del Capítulo 1. Obsérvese que\(x\) en la Sección 1 no es lo mismo que\(x\) en la presente sección. Alternativamente se pueden escribir como series de cosenos de múltiplos de la\(θ\) siguiente manera.
\ begin {array} {l}
P_0 = 1\\
P_1 =\ cos θ\\
P_2 =\ dfrac {1} {4} (3\ cos 2θ + 1)\\
P_3 =\ dfrac {1} {8} (5\ cos 3θ + 3\ cos θ)\\
P_4 =\ dfrac {1} {64} (35\ cos 4 θ + 20\ cos 2 θ + 9)\\
P_5 =\ dfrac {1} {128} (63\ cos 5 θ + 35\ cos 3 θ + 30\ cos θ)\\
P_6 =\ dfrac {1} {512} (231\ cos 6 θ + 126\ cos 4θ + 105\ cos 2θ + 50)\\
P_7 =\ dfrac {1} {1024} (429\ cos 7θ + 231\ cos 5θ + 189\ cos 3θ + 175\ cos θ)\\
P_8 = (6435\ cos 8θ + 3432\ cos 6θ + 2772\ cos 4θ + 2520\ cos 2θ + 1225) /2^ {14}\\
\ label {5.11.7}\ tag {5.11.7}
\ end {array}
Por ejemplo, se\(P_6(\cos θ)\) puede escribir ya sea como se da por la Ecuación\ ref {5.11.7}, o como se da por la Ecuación 1, a saber
\[P_6 = \dfrac{1}{16} (231c^6 - 315 c^4 + 105c^2 - 5), \text{ where } c = \cos θ. \label{5.11.8} \tag{5.11.8}\]
El primero puede parecer más ordenado, y el segundo puede parecer “incómodo” debido a todos los poderes. Sin embargo, este último es mucho más rápido de calcular, particularmente cuando se escribe como paréntesis anidados:
\[P_6 = (-5 + C(105 + C(-315 + 231C)))/16, \text{ where } C = \cos^2 θ. \label{5.11.9} \tag{5.11.9}\]