9.5: Posición en una órbita elíptica

Al lector le gustaría volver a referirse a la Sección 2.3, especialmente la parte que trata de la Ecuación polar a una elipse, para recordar los significados de los ángulos\(θ\),\(ω\) y\(v\), que, en un contexto astronómico, se denominan, respectivamente, el argumento de latitud, el argumento del perihelio y la verdadera anomalía. En esta sección elegiré la línea inicial de coordenadas polares para que coincida con el eje mayor de la elipse, de manera que\(ω\) sea cero y\(θ = v\). La Ecuación a la elipse es entonces

\[r = \frac{l}{1 + e \cos v}. \label{9.6.1} \tag{9.6.1}\]

\(\text{FIGURE IX.5}\)

Supongo que un planeta está en perihelio en el momento\(t = T\), y el objetivo de esta sección será encontrar\(v\) en función de\(t\). El semieje mayor de la elipse es\(a\), relacionado con el recto semilatoso por

\[l = a (1-e^2) \label{9.6.2} \tag{9.6.2}\]

y el periodo viene dado por

\[P^2 = \frac{4 π^2}{G \textbf{M}} a^3. \label{9.6.3} \tag{9.6.3}\]

Aquí el planeta, de masa\(m\) se supone que está en órbita alrededor del Sol de masa\(M\), y el origen, o polo, de las coordenadas polares descritas por la Ecuación\ ref {9.6.1} es el Sol, más que el centro de masa del sistema. Como es habitual,\(\textbf{M} = M + m\).

El vector radio del Sol al planeta no se mueve a velocidad constante (de hecho, la segunda ley de Kepler establece cómo se mueve), pero podemos decir que, sobre una órbita completa, se mueve a una velocidad angular promedio de\(2π/P\). El ángulo\(\frac{2 π}{P} (t-T)\) se llama la anomalía media del planeta en un momento\(t − T\) posterior al paso del perihelio. Generalmente se denota por la letra\(\text{M}\), que ya está sobrecargada de trabajo en este capítulo para diversas masas y funciones de las masas. Para anomalía media, probaré esta fuente:\(\mathcal{M}\). Por lo tanto

\[\mathcal{M} = \frac{2π}{P} (t-T). \label{9.6.4} \tag{9.6.4}\]

El primer paso en nuestro esfuerzo por encontrar\(v\) en función de\(t\) es calcular la anomalía excéntrica a\(E\) partir de la anomalía media. Esto se definió en la figura\(\text{II.11}\) del Capítulo 2, y se reproduce a continuación como figura\(\text{IX.6}\).

Con el tiempo\(t − T\), el área barrida por el vector de radio es el área\(\text{FBP}\), y, debido a que el vector de radio barre áreas iguales en tiempos iguales, esta área es igual a la fracción\((t −T)/ P\) del área de la elipse. En otras palabras, esta área lo es\(\frac{(t-T)π a b}{P}\). Ahora mira la zona\(\text{FBP}^\prime\). Cada ordenada de esa área es igual a\(a/b\) veces la ordenada correspondiente de\(\text{FBP}\), y por lo tanto el área de\(\text{FBP}^\prime\) es\(\frac{(t-T) π a^2}{P}\). El área también\(\text{FBP}^\prime\) es igual al sector\(\text{OP}^\prime \text{B}\) menos el triángulo\(\text{OP}^\prime \text{F}\). El área del sector\(\text{OP}^\prime \text{B}\) es\(\frac{E}{2 π} \times π a^2 = \frac{1}{2} Ea^2\), y el área del triángulo\(\text{OP}^\prime \text{F}\) es\(\frac{1}{2} a e \times a \sin E = \frac{1}{2} a^2 e \sin E\).

\[\therefore \frac{(t-T) π a^2}{P} = \frac{1}{2} E a^2 - \frac{1}{2} a^2 e \sin E.\]

\(\text{FIGURE IX.6}\)

Multiplicar ambos lados por\(2/a^2\), y recordar la Ecuación\ ref {9.6.4}, y llegamos a la relación requerida entre la anomalía media\(\mathcal{M}\) y la anomalía excéntrica\(E\):

\[\mathcal{M} = E - e \sin E . \label{9.6.5} \tag{9.6.5}\]

Esta es la Ecuación de Kepler.

El primer paso, entonces, es calcular la anomalía media a\(\mathcal{M}\) partir de la Ecuación\ ref {9.6.4}, y luego calcular la anomalía excéntrica\(E\) a partir de la Ecuación\ ref {9.6.5}. Esta es una Ecuación trascendental, así que voy a decir una o dos palabras sobre resolverla en un momento, pero sigamos por el momento. Ahora tenemos que calcular la verdadera anomalía a\(v\) partir de la anomalía excéntrica. Esto se hace a partir de la geometría de la elipse, sin dinámica, y la relación se da en el Capítulo 2, Ecuaciones 2.3.16 y 2.3.17c, que se reproducen aquí:

\[\cos v = \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E}. \label{2.3.16} \tag{2.3.16}\]

A partir de identidades trigonométricas, esto también se puede escribir

\[\sin v = \frac{\sqrt{1- e^2} \sin E}{1-e \cos E}, \label{2.3.17a} \tag{2.3.17a}\]

o\[\tan v = \frac{\sqrt{1 - e^2} \sin E}{\cos E - e} \label{2.3.17b} \tag{2.3.17b}\]

o\[\tan \frac{1}{2} v = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{1}{2} E. \label{2.3.17c} \tag{2.3.17c}\]

Si solo podemos resolver la Ecuación\ ref {9.6.5} (Ecuación de Kepler), habremos hecho lo que queramos —es decir, encontrar la verdadera anomalía en función del tiempo.

La solución de la Ecuación de Kepler es de hecho muy fácil. Lo escribimos como

\[f(E) = E - e \sin E - \mathcal{M} \label{9.6.6} \tag{9.6.6}\]

a partir de la cual\[f^\prime (E) = 1 - e \cos E, \label{9.6.7} \tag{9.6.7}\]

y luego, por el proceso habitual de Newton-Raphson:

\[E = \frac{\mathcal{M} - e(E \cos E - \sin E)}{1- e \cos E}. \label{9.6.8} \tag{9.6.8}\]

El cómputo es entonces extraordinariamente rápido (¡especialmente si almacenas cos E y no lo calculas dos veces!).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(e = 0.95\) y eso\(M = 245^\circ\). Calcular\(E\). Dado que la excentricidad es muy grande, se podría esperar que la convergencia sea lenta, y también\(E\) es probable que sea muy diferente de\(\mathcal{M}\), por lo que no es fácil hacer una primera conjetura para\(E\). También podrías intentar\(245^\circ\) una primera conjetura para\(E\). Deberías encontrar que converge a diez figuras significativas en apenas cuatro iteraciones. Incluso si haces una primera suposición estúpida sin pensar\(E = 0^\circ\), converge a diez cifras significativas en solo nueve iteraciones.

Hay algunas ocasiones excepcionales, casi nunca encontradas en la práctica, y sólo para excentricidades mayores que aproximadamente\(0.99\), cuando el método Newton-Raphson no convergerá cuando hagas tu primera conjetura por\(E\) igual a\(\mathcal{M}\). Charles y Tatum (Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 69, 357 (1998)) han demostrado que el método Newton-Raphson siempre convergerá si haces tu primera conjetura\(E = π\). Sin embargo, es poco probable que las situaciones en las que Newton-Raphson no converja con una primera suposición de\(E = \mathcal{M}\), excepto en órbitas casi parabólicas, y generalmente una primera suposición\(E = \mathcal{M}\) es más rápida que una primera suposición de\(E = π\). El comportamiento caótico de la Ecuación de Kepler en estas ocasiones excepcionales es discutido en el artículo anterior y también por Stumpf (Cel. Mechs. y Dyn. Astron. 74, 95 (1999)) y referencias en los mismos.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demuestre que una buena primera suposición para\(E\) es

\[E = \mathcal{M} + x(1 - \frac{1}{2}x^2 ) , \label{9.6.9} \tag{9.6.9}\]

donde\[ x = \frac{e \sin \mathcal{M}}{1 - e \cos \mathcal{M}}. \label{9.6.10} \tag{9.6.10}\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Escriba un programa de computadora en el idioma de su elección para resolver la ecuación de Kepler. El programa debe aceptar\(e\) y\(\mathcal{M}\) como entrada, y regresar\(E\) como salida. La iteración de Newton-Raphson debe terminarse cuando\(|(E_{\text{new}} − E_{\text{old}}) / E_{\text{old}}\) sea menor que una pequeña fracción que determine usted.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un asteroide se mueve en una órbita elíptica de semieje mayor\(3 \text{AU}\) y excentricidad 0.6. Es en el perihelio en el tiempo = 0. Calcular su distancia del Sol y su verdadera anomalía un año sideral después. Se puede tomar la masa del asteroide y la masa de la Tierra para que sean insignificantes en comparación con la masa del Sol. En ese caso, la Ecuación\ ref {9.6.3} es meramente

\[P^2 = \frac{4 π^2}{GM}a^3 , \]

donde\(M\) esta la masa del Sol, y, si\(P\) se expresa en años siderales y\(a\) en\(\text{AU}\), esto se vuelve justo\(P^2 = a^3\). De esta manera se puede calcular inmediatamente el periodo en años y de ahí, a partir de la Ecuación\ ref {9.6.4} se puede encontrar la anomalía media. A partir de ahí, hay que resolver la Ecuación de Kepler para obtener la anomalía excéntrica, y la verdadera anomalía de la Ecuación 2.3.16 o 17. Solo asegúrate de acertar al cuadrante.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Escribe un programa de computadora que te dará la verdadera anomalía y distancia heliocéntrica en función del tiempo desde el paso del perihelio para un asteroide cuya órbita elíptica se caracteriza por\(a\),\(e\). Ejecuta el programa para el asteroide del ejercicio anterior por todos los días durante un periodo completo.

¡Ahora estás haciendo algún progreso real hacia el cómputo de efemérides!