9.6: Posición en una órbita parabólica

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Cuando un cometa de “período largo” llega desde el cinturón de Oort, normalmente entra en una órbita altamente excéntrica, de la cual solo podemos observar un arco muy corto. En consecuencia, muchas veces es imposible determinar el periodo o semieje mayor con algún grado de fiabilidad o distinguir la órbita de una parábola. Por lo tanto, es frecuente la ocasión de tener que entender la dinámica de una órbita parabólica.

No tenemos anomalías medias ni excéntricas. Debemos tratar de llegar\(v\) directamente en función de\(t\) sin pasar por estos intermediarios.

El momento angular por unidad de masa viene dado por la Ecuación 9.5.28a:

\[h = r^2 \dot{v} = \sqrt{2G \textbf{M} q}, \label{9.7.1} \tag{9.7.1}\]

donde\(v\) está la verdadera anomalía y\(q\) es la distancia perihelio.

Pero la Ecuación a la parábola (ver Ecuación 2.4.16) es

\[r = \frac{2q}{1 + \cos v}, \label{9.7.2} \tag{9.7.2}\]

o (ver sección 3.8 del Capítulo 3), haciendo uso de la identidad

\[\cos v = \frac{1-u^2}{1+u^2} , \quad \text{where} \quad u = \tan \frac{1}{2} v , \label{9.7.3a,b} \tag{9.7.3a,b}\]

la Ecuación a la parábola se puede escribir

\[ r = q \sec^2 \frac{1}{2} v . \label{9.7.4} \tag{9.7.4}\]

Así, mediante la sustitución de la Ecuación\ ref {9.7.4} en\ ref {9.7.1} e integrando, obtenemos

\[q^2 \int_0^v \sec^4 (\frac{1}{2} v) dv = \sqrt{2G\textbf{M} q} \int_T^t dt. \label{9.7.5} \tag{9.7.5}\]

Tras la integración (¡envíeme un correo electrónico si te quedas atascado!) esto se convierte

\[u + \frac{1}{3} u^3 = \frac{\sqrt{\frac{1}{2}G \textbf{M}}}{q^{3/2}} (t - T) . \label{9.7.6} \tag{9.7.6}\]

Esta Ecuación, cuando se resuelve para\(u\) (que, recuerden, es\(\tan \frac{1}{2} v\)), nos\(v\) da en función de\(t\). Como se explicó al final de la sección 9.5, si\(q\) está en unidades astronómicas y\(t − T\) está en años siderales, y si la masa del cometa es despreciable en comparación con la masa del Sol, esto se convierte

\[u + \frac{1}{3} u^3 = \frac{π \sqrt{2}(t - T)}{q^{3/2}} \label{9.7.7} \tag{9.7.7}\]

o\[3u + u^3 - C = 0, \quad \text{where} \quad C = \frac{π \sqrt{18} (t-T)}{q^{3/2}}. \label{9.7.8a,b} \tag{9.7.8a,b}\]

Hay una selección de métodos disponibles para resolver la Ecuación\ ref {9.7.8a, b}, por lo que podría ser que la única dificultad sea decidir cuál de los varios métodos quieres usar! A la constante\(\frac{1}{3}C\) se le llama a veces la “anomalía media parabólica”.

Método 1: Simplemente resolverlo por la iteración de Newton-Raphson. Así\(f = 3u + u^3 − C = 0\) y\(f^\prime = 3(1 + u^2 )\), para que el Newton-Raphson\(u = u − f / f^\prime\) se convierta

\[u = \frac{2u^3 + C}{3(1 + u^2)}, \label{9.7.9} \tag{9.7.9}\]

que debería converger rápidamente. Para economía, calcule\(u^2\) solo una vez por iteración.

Método 2:

Let\[u = x-1/x \quad \text{and} \quad C = c-1/c. \label{9.7.10a,b} \tag{9.7.10a,b}\]
Then Ecuación 9.7.8a se convierte

\[x = c^{1/3} . \label{9.7.11} \tag{9.7.11}\]

Así, tan pronto como\(c\) se encuentre,\(x\),\(u\) y se\(v\) puede calcular a partir de las Ecuaciones 9.7.11, 10a, y 3a o b, y el problema está terminado — ¡tan pronto como\(c\) se encuentre!

Entonces, ¿cómo encontramos c? Tenemos que resolver la Ecuación 9.7.10b.

Método 2a:

La Ecuación 9.7.10b se puede escribir como una Ecuación cuadrática:

\[c^2 - Cc - 1 = 0. \label{9.7.12} \tag{9.7.12}\]

Solo ten cuidado de que elijas la raíz correcta; deberías terminar con\(v\) tener el mismo signo que\(t − T\).

Método 2b:

Let\[ C = 2 \cot 2 \phi \label{9.7.13} \tag{9.7.13}\]

y calcular\(\phi\). Pero por una identidad trigonométrica,

\[2 \cot 2 \phi = \cot \phi - 1/\cot \phi \label{9.7.14} \tag{9.7.14}\]

de manera que, en comparación con la Ecuación 9.7.10b, vemos que

\[c = \cot \phi . \label{9.7.15} \tag{9.7.15}\]

Nuevamente, solo asegúrate de elegir el cuadrante derecho en el cálculo\(\phi\) de la Ecuación\ ref {9.7.13}, para estar seguro de que terminas\(v\) teniendo el mismo signo que\(t − T\).

Método 3.

Me dicen que la Ecuación 9.7.8 tiene la solución analítica exacta

\[u = \frac{1}{2} w^{\frac{1}{3}} - 2w^{-\frac{1}{3}}, \label{9.7.16} \tag{9.7.16}\]

donde\[w = 4C + \sqrt{64 + 16C^2}. \label{9.7.17} \tag{9.7.17}\]

No he verificado esto por mí mismo, así que tal vez te guste intentarlo.

Ejemplo: Resolver la Ecuación\(3u + u^3 = 1.6\) por los cuatro métodos. (Métodos 1, 2a, 2b y 3.)

Ejemplo: Un cometa se mueve en una órbita parabólica con distancia perihelio\(0.9 \ \text{AU}\). Calcular la anomalía verdadera y la distancia heliocéntrica 20 días después del paso del perihelio. (Un año sideral es 365.25636 días.)

Ejercicio: Escribir un programa de computadora que devolverá la verdadera anomalía en función del tiempo, dada la distancia perihelio de una órbita parabólica. Pruébalo con tu respuesta para el ejemplo anterior.