13.3: Sectores

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La Figura XIII.2 muestra una porción de una órbita elíptica (u otra sección cónica), y muestra los radios de los radios de la posición del planeta en instantes de tiempo\(t_1, \ t_2\) y\(t_3\).

Figura 13.2.png
\(\text{FIGURE XIII.2}\)

La notación que voy a usar es la siguiente:

El área del sector que se forma al unir las puntas de\(\textbf{r}_2\) y\(\textbf{r}_3\) alrededor de la órbita es\(B_1\).
El área del sector que se forma al unir las puntas de\(\textbf{r}_3\) y\(\textbf{r}_1\) alrededor de la órbita es\(B_2\).
El área del sector que se forma al unir las puntas de\(\textbf{r}_1\) y\(\textbf{r}_2\) alrededor de la órbita es\(B_3\).

El intervalo de tiempo\(t_3 − t_2\) es\(τ_1\).
El intervalo de tiempo\(t_3 − t_1\) es\(τ_2\).
El intervalo de tiempo\(t_2 − t_1\) es\(τ_3\).

Siempre que el arco sea bastante pequeño, luego a una buena aproximación (en otras palabras podemos aproximar los sectores por triángulos), tenemos

\[B_2 \textbf{r}_2 \approx B_1 \textbf{r}_1 + B_3 \textbf{r}_3 . \label{13.3.1} \]

Es decir,

\[\textbf{r}_2 \approx b_1 \textbf{r}_1 + b_3 \textbf{r}_3 , \label{13.3.2} \]

donde

\[b_1 = B_1/B_2 \label{13.3.3} \]

\[b_3 = B_3 / B_2 \label{13.3.4} \]

Los coeficientes\(b_1\) y\(b_3\) son los ratios de sector, y los coeficientes\(a_1\) y\(a_3\) son los ratios triangulares.

Según la segunda ley de Kepler, las áreas del sector son proporcionales a los intervalos de tiempo.

Eso es\[b_1 = τ_1 / τ_2 \label{13.3.5} \]

y\[b_3 = τ_3 / τ_2 . \label{13.3.6} \]

Así se conocen los coeficientes en la Ecuación\ ref {13.3.2}. Nuestro objetivo es utilizar esta Ecuación aproximada para encontrar valores aproximados para las distancias heliocéntricas en los instantes de las tres observaciones, y luego refinarlos para satisfacer la Ecuación exacta 13.2.5. Nos embarcaremos en nuestro intento de hacerlo en la Sección 13.6, pero primero debemos mirar las tres secciones siguientes.