13.4: Segunda Ley de Kepler

En la sección 13.3 hicimos uso de la segunda ley de Kepler, a saber, que el vector de radio barre áreas iguales en tiempos iguales. De manera explícita,

\[\dot{B} = \frac{1}{2}h = \frac{1}{2} \sqrt{GMl.} \label{13.4.1} \tag{13.4.1}\]

Estamos tratando esto como un problema de dos cuerpos y por lo tanto ignorando las perturbaciones planetarias. Sin embargo, vale la pena recordarnos —de la sección 9.5 del capítulo 9, especialmente las Ecuaciones 9.5.17, 9.4.3, 9.5.19, 9.5.20 y 9.5.21, los significados precisos de los símbolos en la Ecuación\ ref {13.4.1}. El símbolo\(h\) es el momento angular por unidad de masa del cuerpo en órbita, y\(l\) es el recto semi latus de la órbita. Si nos referimos al centro de masa del sistema de dos cuerpos como origen, entonces\(h\) y\(l\) son el momento angular por unidad de masa del cuerpo orbitante y el recto semi latus relativo al centro de masa del sistema, y\(M\) es la función\(M^3 /(M + m)^2\) de masa del sistema,\(M\) y\(m\) siendo las masas del Sol y el planeta respectivamente. En el capítulo 9 se utilizó el símbolo\(\mathfrak{M}\) para la función de masa. Si nos estamos refiriendo al centro del Sol como origen, entonces\(h\) y\(l\) son el momento angular por unidad de masa del planeta y el recto semi latus de la órbita del planeta relativo a ese origen, y\(M\) es la suma de las masas de Sol y planeta, para lo cual utilizamos el símbolo \(\textbf{M}\)en el capítulo 9. En cualquier caso, para todos menos quizás los asteroides más masivos, probablemente estemos seguros al considerar que la masa del cuerpo en órbita es insignificante en comparación con la masa del Sol. En ese caso no hay distinción entre el centro del Sol y el centro de masa del sistema bicorporal, y la\(M\) en la Ecuación\ ref {13.4.1} es entonces meramente la masa del Sol. (Nótese que no he dicho que el baricentro de todo el sistema solar coincide con el centro del Sol. La masa de Júpiter, por ejemplo, es casi una milésima parte de la masa del Sol, y eso no es en absoluto despreciable).

El símbolo\(G\), por supuesto, representa la constante gravitacional universal. Su valor numérico no se conoce con una precisión muy alta, y en consecuencia la masa del Sol no se conoce con una precisión superior a la que\(G\) es. Los valores aproximados para ellos son\(G = 6.672 \times 10^{−11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{−2}\) y\(M = 1.989 \times 10^{30} \text{ kg}\). El producto\(GM\), es conocido con considerable precisión; lo es\(1.327 \ 124 \ 38 \times 10^{20} \text{ m}^3 \text{ s}^{−2}\).

Definición: Hasta junio de 2012 la unidad astronómica de distancia (au) se definió como el radio de una órbita circular en la que un cuerpo de masa insignificante, en ausencia de perturbaciones planetarias, se moverá alrededor del Sol a una velocidad angular de exactamente\(0.017 \ 202 \ 098 \ 95\) radianes por día solar medio \(1.990 \ 983 \ 675 \times 10^{−7} \text{ rad s}^{−1}\), o\(0.985 \ 607 \ 668 \ 6\) grados por día solar medio. A esta velocidad angular se le llama a veces la constante gaussiana y se le da el símbolo\(k\). Con esta definición, el valor de la unidad astronómica es aproximadamente\(1.495 \ 978 \ 70 \times 10^{11} \text{ m}\).

Sin embargo, en junio de 2012 la Unión Astronómica Internacional redefinió la unidad astronómica como\(149 \ 597 \ 870 \ 700\) metros exactamente. Esto significa que un cuerpo de masa insignificante que se mueve alrededor del Sol en órbita circular, en ausencia de perturbaciones planetarias, se moverá a una velocidad angular de aproximadamente\(0.017 \ 202 \ 098 \ 95\) radianes por día solar medio, Esta velocidad angular es la constante gaussiana\(k\) -pero, con la nueva definición de la au, ya no es considerada como una de las constantes astronómicas fundamentales. El\(\text{IAU}\) también recomendó que la abreviatura oficial de la unidad astronómica sea au.

Si equiparamos la aceleración centrípeta del hipotético cuerpo que se mueve en una órbita circular de radio\(1 \ \text{au}\) a velocidad angular\(k\) a la fuerza gravitacional sobre él por unidad de masa, vemos eso\(ak^2 = GM/a^2\), así que

\[GM = k^2 a^3 , \label{13.4.2} \tag{13.4.2}\]

donde\(a\) es la longitud de la unidad astronómica y\(k\) es la constante gaussiana.