13.5: Coordenadas

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Necesitamos hacer uso de varios sistemas de coordenadas, y reproduzco aquí las descripciones de los mismos de la sección 10.7 del capítulo 10. Tal vez desee volver a referirse a ese capítulo como un recordatorio adicional.

Plano de órbita heliocéntrico. \(\odot xyz\)con el\(\odot x\) eje dirigido hacia el perihelio. Las coordenadas polares en el plano de la órbita son la distancia heliocéntrica\(r\) y la verdadera anomalía\(v\). El\(z\) -componente del asteroide es necesariamente cero, y\(x = r \cos v\) y\(y = r \sin v\).
Ecliptica heliocéntrica. \(\odot XYZ\)con el\(\odot X\) eje dirigido hacia el Primer Punto de Aries\(\Upsilon\), donde la Tierra, vista desde el Sol, estará situada el 22 de septiembre o cerca de ella. Las coordenadas esféricas en este sistema son la distancia heliocéntrica\(r\), la longitud eclíptica\(λ\), y la latitud eclíptica\(β\), tal que\(X = r \cos β \cos λ\),\(Y = r \cos β \sin λ\) y\(Z = r \sin β\).
Coordenadas ecuatoriales heliocéntricas. \(\odot ξηζ\)con el\(\odot ξ\) eje dirigido hacia el Primer Punto de Aries y por tanto coincidente con el\(\odot X\) eje. El ángulo entre el\(\odot Z\) eje y el\(\odot ζ\) eje es\(ε\), la oblicuidad de la eclíptica. Este es también el ángulo entre el\(XY\) -plano (plano de la eclíptica, o de la órbita de la Tierra) y el\(ξη\) -plano (plano del ecuador de la Tierra). Ver figura\(\text{X.4}\).
Coordenadas ecuatoriales geocéntricas. \(\oplus \mathfrak{xyz}\)con el\(\oplus \mathfrak{x}\) eje dirigido hacia el Primer Punto de Aries. Las coordenadas esféricas en este sistema son la distancia geocéntrica\(∆\), la ascensión derecha\(α\) y la declinación\(δ\), tal que\(\mathfrak{x} = ∆ \cos δ \cos α\),\(\mathfrak{y} = ∆ \cos δ \sin α\) y\(\mathfrak{z} = ∆ \sin δ\).

Un resumen de las relaciones entre ellos es el siguiente

\[\mathfrak{x} = ∆ \cos α \cos δ = l ∆ = \mathfrak{x}_o + ξ, \label{13.5.1} \tag{13.5.1}\]

\[\mathfrak{y} = ∆ \sin α \cos δ = m ∆ = \mathfrak{y}_o + η , \label{13.5.2} \tag{13.5.2}\]

\[\mathfrak{z} = ∆ \sin δ = n ∆ = \mathfrak{z}_o + ζ . \label{13.5.3} \tag{13.5.3}\]

Aquí,\((l , \ m , \ n)\) están los cosenos de dirección del vector de radio geocéntrico del planeta. Ofrecen una forma alternativa\((α , \ δ)\) para expresar la dirección hacia el planeta visto desde la Tierra. No son independientes sino que están relacionados por

\[l^2 + m^2 + n^2 = 1 . \label{13.5.4} \tag{13.5.4}\]

Los símbolos\(\mathfrak{x}_o , \ \mathfrak{y}_o\) y\(\mathfrak{z}_o\) son las coordenadas ecuatoriales geocéntricas del Sol.