13.7: Distancias Geocéntricas y Heliocéntricas - Primer Intento

Anote los tres componentes ecuatoriales heliocéntricos de la Ecuación 13.2.1:

\[ξ_2 = a_1 ξ_1 + a_3 ξ_3 , \label{13.7.1} \tag{13.7.1}\]

\[η_2 = a_1 η_1 + a_3 η_3 , \label{13.7.2} \tag{13.7.2}\]

\[ζ_2 = a_1 ζ_1 + a_3 ζ_3 . \label{13.7.3} \tag{13.7.3}\]

Ahora escribe\(l∆ −\mathfrak{ x}_o\) para\(ξ\), etc., desde Ecuaciones 13.5.1,2,3 y reorganízalo para tomar las coordenadas solares hacia el lado derecho:

\[l_1 a_1 ∆_1 - l_2 ∆_2 + l_3 a_3 ∆_3 = a_1\mathfrak{ x}_{o1} - \mathfrak{x}_{o2} + a_3 \mathfrak{x}_{o3} , \label{13.7.4} \tag{13.7.4}\]

\[m_1 a_1 ∆_1 - m_2 ∆_2 + m_3 a_3 ∆_3 = a_1 \mathfrak{y}_{o1} - \mathfrak{y}_{o2} + a_3 \mathfrak{y}_{o3} , \label{13.7.5} \tag{13.7.5}\]

\[n_1 a_1 ∆_1 - n_2 ∆_2 + n_3 a_3 ∆_3 = a_1\mathfrak{z}_{o1} - \mathfrak{z}_{o2} + a_3\mathfrak{z}_{o3} . \label{13.7.6} \tag{13.7.6}\]

Como primera aproximación, cruda, podemos dejar\(a_1 = b_1\) y\(a_3 = b_3\), porque sabemos\(b_1\) y\(b_3\) (en nuestro ejemplo numérico,,\(b_3 = \frac{1}{3}\))\(b_1 = \frac{2}{3}\), así podemos resolver las Ecuaciones 13.7.4,5,6 para las tres distancias geocéntricas. Sin embargo, eventualmente necesitaremos encontrar los valores correctos de\(a_1\) y\(a_3\).

Cuando hayamos resuelto estas Ecuaciones para las distancias geocéntricas, entonces podemos encontrar las distancias heliocéntricas a partir de las Ecuaciones 13.5.1,2 y 3. Por ejemplo,

\[ξ_1 = l_1 ∆_1 - \mathfrak {x}_{o1} \label{13.7.7} \tag{13.7.7}\]

y por supuesto

\[r_1^2 = ξ_1^2 + η_1^2 + ζ_1^2 . \label{13.7.8} \tag{13.7.8}\]

En nuestro ejemplo numérico, tenemos

\(l_1 = + 0.722 \ 980 \ 907\)
\(l_2 = +0.715 \ 380 \ 933\)
\(l_3 = +0.698 \ 125 \ 992\)

\(m_1 = -0.631 \ 808 \ 343\)
\(m_2 = -0.641 \ 649 \ 261\)
\(m_3 = -0.664 \ 816 \ 398\)

\(n_1 = +0.279 \ 493 \ 876\)
\(n_2 = +0.276 \ 615 \ 882\)
\(n_3 = +0.265 \ 780 \ 465\)

Como comprobación de la aritmética, el lector puede -y debe- verificar que

\(l_1^2 + m_1^2 + n_1^2 = l_2^2 + m_2^2 + n_2^2 = l_3^2 + m_3^2 + n_3^2 = 1\)

Esto no verifica las señales de los cosenos de dirección, para lo cual se debe tener cuidado.

De El Almanaque Astronómico para 2002, encontramos que

\( \mathfrak {x}_{o1} = -306 \ 728 \ 3 \quad \mathfrak {y}_{o1} = +0.889 \ 290 \ 0 \quad \mathfrak {z}_{o1} = +0.385 \ 549 \ 5 \quad \text{AU}\)
\( \mathfrak {x}_{o2} = -386 \ 194 \ 4 \quad \mathfrak {y}_{o2} = +0.862 \ 645 \ 7 \quad \mathfrak {z}_{o2} = +0.373 \ 999 \ 6\)
\( \mathfrak {x}_{o3} = -536 \ 330 \ 8 \quad \mathfrak {y}_{o3} = +0.791 \ 387 \ 2 \quad \mathfrak {z}_{o2} = +0.343 \ 100 \ 4\)

(Por una fracción de día, que suele ser el caso, estas coordenadas se pueden obtener por interpolación no lineal — ver capítulo 1, sección 1.10.)

Ecuaciones 13.7.4,5,6 convertido

\(+0.481 \ 987 \ 271 ∆_1 - 0. \ 715 \ 380 \ 933 ∆_2 + 0. \ 232 \ 708 \ 664 ∆_3 = 0.002 \ 931 \ 933\)

\(-0.421 \ 205 \ 562 ∆_1 + 0.641 \ 649 \ 261∆_2 - 0.221 \ 605 \ 466 ∆_3 = -0.005 \ 989 \ 967\)

\(+0.186 \ 329 \ 251 ∆_1 - 0.276 \ 615 \ 882∆_2 - 0.088 \ 593 \ 488∆_3 = -0.002 \ 599 \ 800\)

Doy a continuación las soluciones a estas Ecuaciones, que son nuestras primeras aproximaciones crudas a las distancias geocéntricas en\(\text{AU}\), junto con las distancias heliocéntricas correspondientes. También doy, para comparación, los valores correctos, a partir de las\(\text{MPC}\) efemérides publicadas

\ begin {array} {c c}
\ text {Primeras estimaciones brutas} &\ text {MPC}\\
∆_1 = 2.725\ 71\ quad r_1 = 3.485\ 32 & ∆_1 = 2.644\ quad r_1 = 3.406\
∆_2 = 2.681\ 60\ quad r_2 = 3.481\ 33 & ∆_2 = 2.603\ quad r_2 = 3.404\
∆_3 = 2.610\ 73\ quad r_3 = 3.474\ 71 & ∆_3 = 2.536\ quad r_3 = 3.401\
\ final {array}

Esto debe dar motivo justificadamente de cierta satisfacción, porque ahora tenemos alguna idea de las distancias geocéntricas del planeta en los instantes de las tres observaciones, aunque es un poco temprano para abrir las botellas de champán. Todavía nos queda un poco camino por recorrer, pues debemos refinar nuestros valores de\(a_1\) y\(a_3\). Nuestras primeras conjeturas,\(a_1 = b_1\) y\(a_3 = b_3\), no son lo suficientemente buenas.

La clave para encontrar las distancias geocéntricas y heliocéntricas es poder determinar las relaciones\(a_1 = A_1/A_2\) triangulares\(a_3 = A_3/A_2\) y las relaciones triangular/sector\(a/b\). Las proporciones sectoriales se encuentran fácilmente a partir de la segunda ley de Kepler. Hemos hecho nuestro primer intento muy crudo de encontrar las distancias geocéntricas y heliocéntricas asumiendo que las relaciones triangulares son iguales a las relaciones sectoriales. Ahora es el momento de mejorar esa suposición, y de obtener mejores ratios triangulares. Después de lo que pueda parecer una cantidad considerable de trabajo, obtendremos fórmulas aproximadas, Ecuaciones 13.8.35a, b, para mejorar las relaciones triangulares. El lector que no desee cargarse con los detalles de la derivación de estas Ecuaciones podrá proceder directamente a ellas, cerca del final de la Sección 13.7