13.8: Relaciones de Triángulo Mejoradas

La Ecuación de movimiento del cuerpo en órbita es

\[\ddot{\textbf{r}} = - \frac{GM}{r^3} \textbf{r} . \label{13.8.1} \tag{13.8.1}\]

Si recordamos la Ecuación 13.4.2, esto se puede escribir

\[\ddot{\textbf{r}} = -k^2 \left( \frac{a^3}{r^3} \right) \textbf{r} . \label{13.8.2} \tag{13.8.2}\]

Si ahora acordamos expresarnos\(r\) en unidades de\(a\) (es decir, en Unidades Astronómicas de longitud (au)) y tiempo en unidades de días solares\(1/k\)\((1/k = 58.132 \ 440 \ 87\) medios), esto se convierte en meramente

\[\ddot{\textbf{r}} = -\frac{1}{r^3} \textbf{r} . \label{13.8.3} \tag{13.8.3}\]

En estas unidades,\(GM\) tiene el valor\(1\).

Ahora escribe los componentes\(x\) - y\(y\) - de esta Ecuación, donde\((x , \ y)\) están las coordenadas heliocéntricas en el plano de la órbita (ver secciones 13.5 o 10.7).

\[\ddot{x} = -\frac{x}{r^3} \label{13.8.4} \tag{13.8.4}\]

y\[\ddot{y} = - \frac{y}{r^3}, \label{13.8.5} \tag{13.8.5}\]

donde\[ x^2 + y^2 = r^2 . \label{13.8.6} \tag{13.8.6}\]

La velocidad de área es\(\frac{1}{2}h = \frac{1}{2} \sqrt{GMl}\) o, en estas unidades,\(\frac{1}{2} \sqrt{l}\) donde l es el recto semi latus de la órbita en\(\text{au}\)

Que el planeta esté\((x, \ y)\) a la hora\(t\). Entonces en el momento\(t + δt\) será en\((x + δx , y + δy)\), donde

\[δx = \dot{x} δt + \frac{1}{2!} \ddot{x} (δt)^2 + \frac{1}{3!} \dddot{x} (δt)^3 + \frac{1}{4!}\ddddot{x} (δt)^4 + ... \label{13.8.7} \tag{13.8.7}\]

y de manera similar para y.

Ahora, a partir de la Ecuación\ ref {13.8.4} obtenemos

\[\dddot{x} = \frac{3x \dot{r}}{r^4} - \frac{\dot{x}}{r^3} \label{13.8.8} \tag{13.8.8}\]

y\[\ddot{\ddot{x}} = 3 \left( \frac{\dot{x}\dot{r}}{r^4} + \frac{x \ddot{r}}{r^4} - \frac{4x \dot{r}^2}{r^5} \right) - \frac{r^3 \ddot{x} - 3r^2 \dot{x} \dot{r}}{r^6} . \label{13.8.9} \tag{13.8.9}\]

(El comentario en el párrafo anterior a la Ecuación 3.4.16 puede ser de ayuda aquí, en caso de que esto sea pesado.)

Ahora\(\ddot{x}\) y\(x\) están relacionados por la Ecuación\ ref {13.8.4}, para que podamos escribir la Ecuación\ ref {13.8.9} sin derivadas de tiempo de\(x\) mayor que la primera, y de hecho no es difícil, porque la Ecuación\ ref {13.8.4} es justa\(r^3 \ddot{x} = -x\). Obtenemos

y\[\ddot{\ddot{x}} = x \left( \frac{1}{r^6} - \frac{12 \dot{r}^2}{r^5} + \frac{3 \ddot{r}}{r^4} \right) + \frac{6 \dot{x} \dot{r}}{r^4} . \label{13.8.10} \tag{13.8.10}\]

De manera similar, debido a la relación\ ref {13.8.4}, todas las derivadas de tiempo superiores de\(x\) pueden escribirse sin derivadas de\(x\) mayor que la primera, y un argumento similar se mantiene para\(y\).

Así podemos escribir la Ecuación\ ref {13.8.7} como

\[x + δx = Fx + G \dot{x} \label{13.8.11} \tag{13.8.11}\]

y de manera similar para\(y\):

\[y + δy = Fy + G \dot{y} , \label{13.8.12} \tag{13.8.12}\]

donde\[F = 1 - \frac{1}{2r^3} (δt)^2 + \frac{\dot{r}}{2r^4} (δt)^3 + \frac{1}{24} \left( \frac{1}{r^6} - \frac{12 \dot{r}^2}{r^5} + \frac{3 \ddot{r}}{r^4} \right) (δt)^4 + ... \label{13.8.13} \tag{13.8.13}\]

y\[G = δt - \frac{1}{6r^3} (δt)^3 + \frac{\dot{r}}{4r^4} (δt)^4 + ... \label{13.8.14} \tag{13.8.14}\]

Ahora vamos a mirar las áreas triangulares y sectoriales. De la figura\(\text{XIII.1}\) podemos ver que

\[\textbf{A}_1 = \frac{1}{2} \textbf{r}_2 \times \textbf{r}_3 , \ \textbf{A}_2 = \frac{1}{2} \textbf{r}_1 \times \textbf{r}_3 , \ \textbf{A}_3 = \frac{1}{2} \textbf{r}_1 \times \textbf{r}_2 . \label{13.8.15a,b,c} \tag{13.8.15a,b,c}\]

Además, el momento angular por unidad de masa es\(\textbf{r} \times \textbf{v}\) y la segunda ley de Kepler nos dice que la velocidad de área es la mitad del momento angular por unidad de masa y que es constante e igual a\(\frac{1}{2} \sqrt{l}\) (en las unidades que estamos usando), de manera que

\[\dot{\textbf{B}}_1 = \frac{1}{2} \textbf{r}_1 \times \dot{\textbf{r}}_1 = \frac{1}{2} \textbf{r}_2 \times \dot{\textbf{r}}_2 = \frac{1}{2} \textbf{r}_3 \times \dot{\textbf{r}}_3 .\label{13.8.16a,b,c} \tag{13.8.16a,b,c}\]

Los cuatro vectores son paralelos y perpendiculares al plano de la órbita, a lo que sus magnitudes son apenas iguales a sus\(z\) -componentes. A partir de las fórmulas habituales para los componentes de un producto vectorial tenemos, entonces,

\[A_1 = \frac{1}{2}(x_2 y_3 - y_2 x_3 ) , \quad A_2 = \frac{1}{2} (x_1 y_3 - y_1 x_3 ) , \quad A_3 = \frac{1}{2} (x_1 y_2 - y_1 x_2 ) \label{13.8.17a,b,c} \tag{13.8.17a,b,c}\]

y

\[\frac{1}{2} \sqrt{l} = \frac{1}{2} (x_1 \dot{y}_1 - y_1 \dot{x}_1 ) = \frac{1}{2}(x_2 \dot{y}_2 - y_2 \dot{x}_2 ) = \frac{1}{2} (x_3 \dot{y}_3 - y_3 \dot{x}_3 ) . \label{13.8.18a,b,c} \tag{13.8.18a,b,c}\]

Ahora, partimos de la segunda observación\((x_2 , y_2)\) al instante\(t_2\). Intentaremos predecir la tercera observación, utilizando las Ecuaciones 13.8.11-14, en las que\(x + δx\) es\(x_3\) y\(δt\) es\(t_3 − t_2\), a la que estamos llamando (ver sección 13.3)\(τ_1\). Haré los subíndices para\(F\) y\(G\) los mismos que los subíndices para\(τ\). Así el\(F\) y\(G\) que conectan las observaciones 2 y 3 tendrán subíndice 1, así como estamos usando la notación\(τ_1\) para\(t_3 − t_2\).

Así tenemos

\[x_2 = F_1 x_2 + G_1 \dot{x}_2 \label{13.8.19} \tag{13.8.19}\]

y\[y_3 = F_1 y_2 + G_1 \dot{y}_2 , \label{13.8.20} \tag{13.8.20}\]

donde\[F_1 = 1 - \frac{1}{2r_2^3}τ_1^2 + \frac{\dot{r}_2}{2r_2^4} τ_1^3 + \frac{1}{24} \left( \frac{1}{r_2^6} - \frac{12 \dot{r}_2^2}{r_2^5} + \frac{3 \ddot{r}_2}{r_2^4} \right) τ_1^4 + ... \label{13.8.21} \tag{13.8.21}\]

y\[G_1 = τ_1 - \frac{1}{6r_2^3} τ_1^3 + \frac{\dot{r}_2}{4r_2^3} τ_1^4 + ... \quad . \label{13.8.22} \tag{13.8.22}\]

De igual manera, la primera observación viene dada por

\[x_1 = F_3 x_2 + G_3 \dot{x}_2 \label{13.8.23} \tag{13.8.23}\]

y\[y_1 = F_3 y_2 + G_3 \dot{y}_2 , \label{13.8.24} \tag{13.8.24}\]

donde, mediante la sustitución\(−τ_3\) de\(δt\),

\[F_3 = 1 - \frac{1}{2r_2^3} τ_3^2 - \frac{\dot{r}_2}{2r_2^4} τ_3^3 + \frac{1}{24} \left( \frac{1}{r_2^6} - \frac{12 \dot{r}_2^2}{r_2^5} + \frac{3\ddot{r}_2}{r_2^4} \right) τ_3^4 + ... \label{13.8.25} \tag{13.8.25}\]

y\[G_3 = -τ_3 + \frac{1}{6r_2^3} τ_3^3 + \frac{\dot{r}_2}{4r_2^4}τ_3^4 + ... \quad . \label{13.8.26} \tag{13.8.26}\]

De las Ecuaciones 13.8.17,18,19,20,23,24, pronto encontramos que

\[A_1 = \frac{1}{2} G_1 \sqrt{l} , \quad A_2 = \frac{1}{2} ( F_3 G_1 - F_1G_3 ) \sqrt{l} , \quad A_3 = -\frac{1}{2} G_3 \sqrt{l} . \label{13.8.27a,b,c} \tag{13.8.27a,b,c}\]

Ahora aún no sabemos\(\dot{r}\) o\(\ddot{r}\), pero podemos tomar las expansiones de\(F\) y\(G\) hasta donde\(τ^2\). Luego obtenemos, corregir a\(τ^3\):

\[A_1 = \frac{1}{2} \sqrt{l} τ_1 \left( 1 - \frac{τ_1^2}{6_2^3} \right) , \label{13.8.28} \tag{13.8.28}\]

\[A_2 = \frac{1}{2} \sqrt{l} τ_2 \left( 1 - \frac{τ_1^2}{6r_2^3} \right) , \label{13.8.29} \tag{13,8.29}\]

y\[A_3 = \frac{1}{2} \sqrt{l} τ_3 \left( 1 - \frac{τ_3^2}{6r_2^3} \right) . \label{13.8.30} \tag{13.8.30}\]

Por lo tanto, la relación del triángulo\(a_1 = A_1/A_2\) es

\[a_1 = \frac{τ_1}{τ_2} \left( 1 - \frac{τ_1^2}{6r_2^3} \right) \left( 1 - \frac{τ_2^2}{6r_2^3} \right)^{-1} , \label{13.8.31} \tag{13.8.31}\]

que, a la orden\(τ^3\), es\[a_1 = \frac{τ_1}{τ_2} \left( 1 + \frac{(τ_2^2 - τ_1^2)}{6r_2^3} \right) , \label{13.8.32} \tag{13.8.32}\]

o, con\(τ_2 - τ_1 = τ_3\),\[a_1 = \frac{τ_1}{τ_2} \left( 1 + \frac{τ_3 (τ_2 + τ_1)}{6r_2^3} \right) . \label{13.8.33} \tag{13.8.33}\]

Del mismo modo,\[a_3 = \frac{τ_3}{τ_2} \left( 1 + \frac{τ_1 (τ_2 + τ_3)}{6r_2^3} \right) . \label{13.8.34} \tag{13.8.34}\]

Además, con\(τ_1 /τ_2 = b_1\) y\(τ_3 /τ_2 = b_3\),

\[a_1 = b_1 + \frac{τ_1 τ_3}{6r_2^3} (1 + b_1) \quad \text{and} \quad a_3 = b_3 + \frac{τ_1 τ_3}{6r_2^3} (1 + b_3) . \label{13.8.35a,b} \tag{13.8.35a,b}\]

Estos servirán como mejores aproximaciones para las relaciones triangulares. Tenga en cuenta, sin embargo, que las Ecuaciones 13.8.35a, b son solo aproximaciones, y no dan los valores exactos para\(a_1\) y\(a_3\).