14.2: Transformaciones de contacto y teoría de perturbación general

(Antes de leer esta sección, puede ser bueno releer la sección 10.11 del Capítulo 10.)

Supongamos que tenemos un problema sencillo en el que conocemos al hamiltoniano\(H_0\) y que se ha resuelto la Ecuación Hamilton-Jacobi:

\[H_0 \left( q_1 , \frac{\partial S}{\partial q_1} , t \right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0. \label{14.2.1} \tag{14.2.1}\]

Ahora supongamos que tenemos un problema similar, pero que el hamiltoniano, en vez de ser justo\(H_0\) es\(H = H_0 - R\), y\(K = H + \frac{\partial S}{\partial t}\).

Hagamos una transformación de contacto desde\((p_i , \ q_i)\) hasta\((P_i , \ Q_i)\), dónde\(\dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}\) y\(\dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i}\). En el contexto orbital, siguiendo la Sección 10.11, identificamos\(Q_i\) con\(α_i\) y\(P_i\) con\(−β_i\), cuáles son funciones (dadas en la Sección 10.11) de los elementos orbitales y que pueden servir en lugar de los elementos orbitales. Los parámetros son constantes con respecto al problema imperturbable, pero son variables con respecto a la función perturbadora. Se les da, como funciones del tiempo, por la solución de las Ecuaciones de movimiento de Hamilton, que conservan su forma bajo una transformación de contacto.

\[\dot{α}_i = \frac{\partial R}{\partial β_i} \text{ and } \dot{β}_i = - \frac{\partial R}{\partial α_i}. \label{14.2.2a,b} \tag{14.2.2a,b}\]

La teoría de la perturbación mostrará, entonces, cómo el\(α_i\) y\(β_i\) variará con una perturbación dada. \(a, \ e, \ i, \ Ω, \ ω, \ T\)Los elementos convencionales son funciones de\(α_i , \ β_i\), y nuestro objetivo es encontrar cómo los elementos convencionales varían con el tiempo bajo la perturbación\(R\).

Podemos hacer eso de la siguiente manera. Dejar\(A_i\) ser un elemento orbital, dado por

\[A_i = A_i ( α_i , β_i ) . \label{14.2.3} \tag{14.2.3}\]

Entonces\[\dot{A}_i = \sum_j \frac{\partial A_i}{\partial α_j} \dot{α}_j + \sum_j \frac{\partial A_i}{\partial β_j} \dot{β}_j . \label{14.2.4} \tag{14.2.4}\]

Por las Ecuaciones 14.2.2a, b, esto se convierte en

\[\dot{A}_i = \sum_j \frac{\partial A_i}{\partial α_j} \frac{\partial R}{\partial β_j} - \sum_j \frac{\partial A_i}{\partial β_j} \frac{\partial R}{\partial β_j} . \label{14.2.5} \tag{14.2.5}\]

Pero\[\frac{\partial R}{\partial α_j} = \sum_k \frac{\partial R}{\partial A_k} \frac{\partial A_k}{\partial α_j} \quad \text{and} \quad \frac{\partial R}{\partial β_j} = \sum_k \frac{\partial R}{\partial A_k} \frac{\partial A_k}{\partial β_j} . \label{14.2.6a,b} \tag{14.2.6a,b}\]

\[\therefore \quad \dot{A}_i = \sum_j \sum_k \frac{\partial R}{\partial A_k} \left( \frac{\partial A_i}{\partial a_j} \frac{\partial A_k}{\partial β_j} - \frac{\partial A_i}{\partial β_j} \frac{\partial A_k}{\partial α_j} \right) \label{14.2.6} \tag{14.2.6}\]

Eso es\[\dot{A}_i = \sum_k \frac{\partial R}{\partial A_k} \sum_j \left( \frac{\partial A_i}{\partial a_j} \frac{\partial A_k}{\partial β_j} - \frac{\partial A_i}{\partial β_j} \frac{\partial A_k}{\partial α_j} \right) \label{14.2.7} \tag{14.2.7}\]

Esto se puede escribir, en taquigrafía:

\[\dot{A}_i = \sum_k \frac{\partial R}{\partial A_k} \{ A_i , A_k \}_{α_j , β_j} . \label{14.2.8} \tag{14.2.8}\]

Aquí el símbolo\( \{ A_i , A_k \}_{α_i ,β_i}\) se llama el corchete de Poisson de\(A_i , \ A_k\) con respecto a\(α_j\),\(β_j\). (En el lenguaje del tipógrafo, los símbolos (), [] y {} son, respectivamente, paréntesis, corchetes y llaves; puede referirse a llaves de Poisson si lo desea, pero el término habitual, a pesar de los símbolos, es corchete de Poisson.)

Tenga en cuenta la propiedad\( \{ A_i , A_k \}_{α_j ,β_j} = - \{ A_k , A_i \}_{α_j ,β_j}.\)