15.2: Elementos orbitales y el vector de posición y velocidad
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Los seis elementos utilizados para describir la órbita de un asteroide son los familiares
a, e, i, Ω, ω, T
Debido a la precesión y nutación de la Tierra, los elementos angulares deben, por supuesto, ser referidos a un equinoccio y ecuador particulares, generalmente elegidos para ser el de la época estándar J2000.0, lo que significa 12h 00m TT el 01 de enero de 2000. (La “J” significa “Año Juliano”.)
El elemento T es el instante del paso del perihelio. Si la órbita es casi circular, el instante de paso del perihelio está mal definido, y si la órbita es exactamente circular, no está definida en absoluto. En tales casos, en lugar de T, podemos dar ya sea la anomalía media M 0 o la longitud media L0 en una época especificada (ver Capítulo 10). Esta época no necesita ser (y por lo general no es) la misma que la época estándar a la que se refiere el párrafo anterior.
Supongamos que, en algún instante del tiempo (a conocer, por razones que se explicarán más adelante, como la época de la osculación), las coordenadas eclípticas heliocéntricas de un asteroide o cometa en órbita elíptica son (X, Y, Z) y los componentes del vector de velocidad son (\(\dot{X}, \dot{Y}, \dot{Z}\)). Hemos mostrado en el Capítulo 10, Sección 10.10) cómo calcular, a partir de estos, los seis elementos a, e, i, Ω, ω, T de la órbita en ese instante. Por el contrario, dados los elementos orbitales, podríamos invertir el cálculo y calcular los componentes de los vectores de posición y velocidad. Por lo tanto, una órbita puede ser igualmente descrita por los seis números
\(X, Y, Z, \dot{X}, \dot{Y}, \dot{Z}\)
Es decir, los componentes, en algún instante de tiempo especificado, del vector de posición y velocidad en coordenadas eclípticas heliocéntricas.
También podríamos dar los componentes, en algún instante del tiempo, de los vectores de posición y velocidad en coordenadas ecuatoriales heliocéntricas:
\( \xi, \eta, \zeta, \dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}\)
Vimos en la Sección 10.9 que otro conjunto más de seis números,
P x, Q x, P y, Q y, P z, Q z
también bastará para describir una órbita.
Se supone aquí que el lector está familiarizado con los cuatro conjuntos alternativos de elementos, y puede convertir entre ellos. En efecto, antes de seguir leyendo, puede ser un ejercicio útil preparar un programa de computadora que convierta instantáneamente entre ellos. Esta puede no ser una tarea trivial, pero recomiendo encarecidamente hacerlo antes de seguir leyendo. La facilidad para convertir instantáneamente entre un conjunto y otro es de enorme ayuda. Para convertir entre coordenadas eclípticas y ecuatoriales, necesitarás, por supuesto, la oblicuidad de la eclíptica en ese instante; varía, por supuesto, con el tiempo.) El lector habrá notado la frecuente ocurrencia de la frase “en ese instante” en los párrafos anteriores. Si el asteroide no estuviera sujeto a perturbaciones de los otros planetas, conservaría sus elementos orbitales para siempre. Sin embargo, debido a las perturbaciones planetarias, los elementos a, e i,, Ω, ω, T calculados\( \xi, \eta, \zeta, \dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}\) a partir\(X, Y, Z, \dot{X}, \dot{Y}, \dot{Z}\) o a partir de un instante de tiempo determinado son válidos solo para ese instante. Los elementos cambiarán con el tiempo. Por lo tanto, al citar los elementos de una órbita asteroidal, es totalmente necesario exponer con claridad y sin ambigüedad el instante de tiempo al que se refieren estos elementos. La órbita imperturbada, y la órbita perturbada real, coincidirán en posición y velocidad en ese instante. Las órbitas reales e imperturbables se “besarán” u oscularán en ese instante, lo que por tanto se conoce como la época de la osculación.
Los elementos a, e, i, Ω, ω, T calculados para una época particular de osculación pueden ser suficientes para el cálculo de una efemérides en las próximas semanas. Pero después de meses la posición observada del objeto comenzará a desviarse de su posición calculada de efemérides. Entonces es necesario calcular un nuevo conjunto de elementos para una época posterior de osculación. Dependiendo de las circunstancias, los elementos orbitales pueden ser recalculados cada año, o cada 200 días o cada 40 días o cada 10 días, o en algún otro intervalo conveniente. Será el propósito en lo que sigue hacer lo siguiente. Dado que en algún instante (es decir, en alguna época de osculación) los elementos son a, e, i, Ω, ω, T (o los vectores de posición y velocidad son\( \xi, \eta, \zeta, \dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}\), ¿cómo calculamos los elementos en alguna época posterior, teniendo en cuenta las perturbaciones planetarias?
Como se señaló al final de la Sección 15.1, necesitaremos conocer las posiciones y distancias de los planetas mayores en función del tiempo. Suponemos que tenemos subrutinas en nuestro programa a las que podemos recurrir para calcular estos datos en cualquier fecha. Como se mencionó anteriormente, las Ecuaciones de movimiento pueden escribirse en coordenadas ecuatoriales o eclípticas, aunque es más probable que, para las posiciones de los planetas mayores, tengamos disponibles sus posiciones en coordenadas ecuatoriales.