17.2: Determinación de la órbita aparente

Se puede decir que la órbita aparente está determinada si podemos determinar el tamaño de la elipse aparente (es decir, su semieje mayor), su forma (es decir, su excentricidad), su orientación (es decir, el ángulo de posición de su eje mayor) y las dos coordenadas del centro de la elipse con respecto a la estrella primaria. Por lo tanto, hay cinco parámetros a determinar.

La Ecuación general a una sección cónica (ver Sección 2.7 del Capítulo 2) es de la forma

\[ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + 1 = 0 , \label{17.2.1} \tag{17.2.1}\]

para que igualmente podamos decir que la órbita aparente se ha determinado si hemos determinado los cinco coeficientes\(a, \ h, \ b, \ g, \ f\). Las secciones 2.8 y 2.9 describieron cómo determinar estos coeficientes si se daban las posiciones de cinco o más puntos, y la sección 2.7 trataba de cómo determinar el semieje mayor, la excentricidad, la orientación y el centro dado\(a, \ h, \ b, \ g\) y\(f\).

Podemos concluir, por lo tanto, que para determinar la elipse aparente todo lo que se necesita hacer es obtener cinco o más observaciones de\((ρ , θ)\) o de\((x , y)\), y luego simplemente aplicar los métodos de las secciones 2.8 y 2.9 para ajustar la elipse aparente. Por supuesto, aunque cinco es el número mínimo de observaciones que son esenciales, en la práctica necesitamos muchas, muchas más (ver sección 2.9), y para obtener una buena elipse realmente necesitamos esperar hasta que se hayan obtenido observaciones para cubrir todo un periodo. Pero simplemente ajustar la mejor elipse a un conjunto de\((x , y)\) puntos no es de ninguna manera hacer el mejor uso de los datos. La razón es que una observación consiste no sólo de\((ρ , θ)\) o de\((x , y)\), sino también el tiempo, t. De hecho, la separación y el ángulo de posición son bastante difíciles de medir y tendrán errores bastante considerables, mientras que el tiempo de cada observación se conoce con gran precisión. ¡Hasta ahora hemos ignorado por completo la única medida que conocemos con certeza!

Tenemos que asegurarnos de que la elipse aparente que obtenemos obedezca la segunda ley de Kepler. De hecho, es más importante asegurar esto que ciegamente ajustar una elipse de mínimos cuadrados a n puntos.

Si estuviera haciendo esto, probablemente trazaría dos gráficas separadas —una de\(ρ\) (o quizás\(ρ^2\)) contra el tiempo, y otra\(θ\) contra el tiempo. Una cosa que esto lograría de inmediato sería identificar cualquier medida obviamente mala, que luego podríamos rechazar. Dibujaría una curva suave para cada gráfica. Entonces, para intervalos de tiempo iguales determinaría a partir de las gráficas los valores de ρ y dθ/dt y luego calcularía\(ρ^2 \ dθ/dt\). Según la segunda ley de Kepler, ésta debería ser constante e independiente del tiempo. Entonces ajustaría mi intento preliminar en la órbita aparente hasta que se obedeciera la segunda ley de Kepler y\(ρ^2 \ dθ/dt\) fuera constante. Una buena pregunta ahora, es, ¿cuál debe ajustarse,\(ρ\) o\(θ\)? Puede que no haya una respuesta invariable dura y rápida a esto, pero, en términos generales, la medición de la separación es más incierta que la medición del ángulo de posición, por lo que normalmente sería mejor ajustar\(ρ\).

Si finalmente estamos satisfechos de que tenemos la mejor elipse aparente que satisface lo mejor posible no sólo las posiciones de los puntos, sino también sus tiempos, y que la elipse aparente satisface la ley de áreas de Kepler, nuestra siguiente tarea será determinar los elementos de la verdadera elipse.