18.3: Elementos Preliminares de la Curva de Velocidad
- Page ID
- 131145
Hemos visto en la sección anterior cómo calcular la curva de velocidad dados los elementos. El problema más práctico es el inverso: En esta sección, asumimos que hemos obtenido una curva de velocidad observacionalmente, y queremos determinar los elementos. El supuesto de que hemos obtenido una curva de velocidad radial precisa es, por supuesto, más bien grande; pero, por el momento, supongamos que esto se ha hecho y estamos tratando de determinar qué podemos sobre la órbita. Nos limitamos en esta sección a determinar a partir de la curva solo primeras estimaciones muy aproximadas de los elementos. Esto también servirá para establecer qué información se puede obtener en principio a partir de la curva de velocidad. Una sección posterior tratará de refinar nuestras estimaciones y obtener valores precisos.
El supuesto de que ya hemos obtenido la curva de velocidad radial implica que ya conocemos el periodo P de la órbita.
La curva de velocidad radial viene dada por la Ecuación 18.2.12:
\[V=V_{0}+K_{1}(\cos (\omega+v)+e \cos \omega).\]
Aquí v = v (t, T, e). Así, a partir de la curva de velocidad radial, deberíamos poder determinar V 0, K 1, e, ω y T. Nos recordaremos un poco más tarde el significado de K 1, pero mientras tanto podemos notar que la velocidad radial varía entre un máximo de V max = V 0 + K 1 (e cos ω + 1) y un mínimo de V min = V 0 + K 1 (e cos ω - 1). La diferencia entre estos dos es de 2 K 1. Así K 1 es la semiamplitud de la curva de velocidad radial, independientemente de la forma de la curva y los valores de ω y e, y así (de nuevo suponiendo que tenemos una curva de velocidad radial bien determinada) K1 puede ser fácilmente determinado.
La velocidad sistémica V 0 es tal que el área bajo la curva de velocidad radial por encima de ella es igual al área por encima de la curva de velocidad radial debajo de ella. Así, al menos se puede hacer una estimación preliminar aproximada de V 0, independientemente de la forma de la curva y de los valores de ω y e.
La forma de la curva de velocidad radial (a diferencia de su amplitud y fase) está determinada por ω y e. Como se sugiere en la sección anterior, podemos preparar un conjunto de, digamos, 360 curvas teóricas que cubren 36 valores de ω de 0 a 350 o y 10 valores de e de 0.0 a 0.9. (Al hacer uso de simetrías, se necesita cubrir ω solo de 0 a 90 o, pero las computadoras son tan rápidas hoy en día que también se podría pasar de 0 a 350 o) Al comparar la curva observada con estas curvas teóricas, obtenemos una primera estimación de ω y e. Podríamos entonces supongo, aprovechar las computadoras rápidas de hoy y preparar un conjunto de curvas de velocidad con intervalos mucho más finos alrededor de la primera estimación de uno. Esto no nos permitiría, por supuesto, calcular valores precisos definitivos de ω y e, pero nos daría una primera suposición bastante buena.
Ya señalé que
\[V_{\max }=V_{0}+K_{1}(e \cos \omega+1)\]
y
\[ V_{\min }=V_{0}+K_{1}(e \cos \omega-1)\]
De estos vemos que
\[e \cos \omega=\frac{V_{\max }+V_{\min }}{2 K_{1}}.\]
Esto nos permite determinar e cosω sin referencia al V 0 ligeramente incierto, y vamos a querer ver que nuestras estimaciones de e y ω a partir de la forma de la curva son consistentes con la Ecuación 18.3.3.
La curva de velocidad también nos permite determinar T, el tiempo de paso periastrón. Por ejemplo, las curvas de velocidad teóricas de muestra que he dibujado en las figuras XIII.3, 4 y 5 comienzan todas en el periástrón en el límite de la izquierda de cada curva.
Tenga en cuenta que hemos podido determinar K 1, que es\(\frac{n a_{1} \sin i}{\sqrt{1-e^{2}}}\), y podemos determinar e y n, que es 2π/ P. Esto significa que podemos determinar un 1 pecado i, pero eso es hasta donde podemos llegar sin información adicional; no podemos separar un 1 de i.