18.5: Refinamiento de los Elementos Orbitales

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Al encontrar el mejor ajuste de los valores observacionales de velocidad radial a un conjunto de curvas teóricas de velocidad radial, ya hemos determinado, aunque sólo sea gráficamente, una estimación preliminar de los elementos orbitales. Ahora tenemos que afinar estas estimaciones para obtener el mejor conjunto de elementos que podamos a partir de los datos.

Recordemos la Ecuación teórica (Ecuación 18.2.12) que desarrollamos para la velocidad radial:

\[ V=V_{0}+K_{1}(\cos (\omega+V)+e \cos \omega).\]

Aquí

\[ K_{1}=\frac{n a_{1} \sin i}{\sqrt{1-e^{2}}}\]

\[n=2 \pi / P.\]

También v es una función del tiempo y de los elementos T y e, a través de las Ecuaciones 9.6.4, 9.6.5 y 2.3.16 citadas en la Sección 18.2. Así, la Ecuación 18.5.1 expresa la velocidad radial en función del tiempo (de ahí la verdadera anomalía) y de los elementos orbitales V ₀, K ₁, ω, e, n y T:

\[V=V\left(t ; V_{0}, K_{1}, \omega, e, n, T\right).\]

Para cada observación (es decir, para cada tiempo t), podemos usar nuestros elementos preliminares para calcular cuál debería ser la velocidad radial en ese momento, y compararla con la velocidad radial observada en ese momento. Nuestro objetivo va a ser ajustar los elementos orbitales para que la suma de los cuadrados de las diferencias V _obs - V _calc sea menor.

Si cambiáramos un poco cada uno de los elementos de la Ecuación 18.4.4, el cambio correspondiente en V sería, a primer orden,

\[ \delta V=\frac{\partial V}{\partial V_{0}} \delta V_{0}+\frac{\partial V}{\partial K_{1}} \delta K_{1}+\frac{\partial V}{\partial \omega} \delta \omega+\frac{\partial V}{\partial e} \delta e+\frac{\partial V}{\partial n} \delta n+\frac{\partial V}{\partial T} \delta T.\]

Cuando se han realizado las diferenciaciones, esto se convierte

\[\begin{array}{l}{\delta V=\delta V_{0}+(\cos (V+\omega)+e \cos \omega) \delta K_{1}-K_{1}(\sin (V+\omega)+e \sin \omega) \delta \omega} \\ {+K_{1}\left(\cos \omega-\frac{(2+e \cos v) \sin (V+\omega) \sin v}{1-e^{2}}\right) \delta e} \\ {-\frac{\sin (v+\omega)(1+e \cos v)^{2} K_{1}(t-T)}{\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}} \delta n+\frac{K_{1} n \sin (v+\omega)(1+e \cos v)^{2}}{\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}} \delta T}\end{array}.\]

En esta Ecuación, δ V es V _obs - V _calc. Habrá una de esas Ecuaciones para cada observación, y por lo tanto, si hay N (> 6) observaciones habrá N Ecuaciones de condición. A partir de estas, se formarán seis Ecuaciones normales de la manera descrita en la Sección 1.8 y se resolverán para los incrementos en los elementos orbitales. Estos son luego restados de los elementos preliminares para formar un conjunto mejorado de elementos, y el proceso puede repetirse hasta que no haya cambios significativos.

Este proceso puede ser altamente automatizado por computadora, pero en la práctica el cálculo es supervisado mejor por una computadora de órbita humana experimentada. Si bien una computadora puede producir una solución formal, hay una serie de situaciones que pueden resultar en una solución poco realista o incluso bastante incorrecta. Mucho depende de la distribución de las observaciones, y de si los errores observacionales se distribuyen normalmente. Además, si el sistema se ha observado durante mucho tiempo a lo largo de muchos periodos orbitales, el periodo puede conocerse con gran precisión, y el investigador puede preferir mantener P (de ahí n) como una constante fija, conocida durante el cálculo. O de nuevo, si el periodo es corto, el investigador puede desear (quizás sobre la base de conocimientos adicionales) suponer que las dos estrellas están muy juntas y que las órbitas de los componentes son circulares, y de ahí fijar e = 0 a lo largo del cálculo. Siempre me incomoda hacer una suposición de que algún elemento tiene algún valor deseado; me parece que, una vez que se inicia esto, también se podrían asumir valores para todos los elementos. Esto tendría la ventaja de que no es necesario hacer ninguna observación ni hacer ningún cálculo y simplemente puede asumir todos los resultados de acuerdo al gusto personal. Si una suposición de que P o e se pueden mantener como fijos y conocidos, o si se debe dejar que la computadora haga todo el cálculo sin ninguna intervención, es algo que requiere la experiencia de alguien que lleva años calculando órbitas.