2.3: Teoremas Generales

Una serie de reglas, o teoremas, se pueden deducir de las ecuaciones de Maxwell (2.1.1) y (2.1.4).

2.3.1 Aplicación del Teorema de Gauss

De las ecuaciones de Maxwell se tiene

\[\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{E}})=\frac{\rho_{t}}{\epsilon_{0}} \nonumber\]

donde ρ _t = ρ _f + ρ _b, y ρ _b = −div (\(\vec P\)). Integrar la Ecuación (2.1.4) sobre cualquier volumen cerrado V:

\[ \int \int \int_{V} d V d i v(\overrightarrow{\mathrm{E}})=\frac{1}{\epsilon_{0}} \int \int \int_{V} d V \rho_{t}=\frac{Q_{t}}{\epsilon_{0}}. \nonumber \]

Pero a partir del teorema de Gauss, sección (1.3.3)

\[\int \int \int_{V} d V d i v(\vec{E})=\int \int \int_{S} d S(\vec{E} \cdot \hat{\mathbf{n}}), \nonumber\]

donde S es la superficie que limita el volumen V, y\(\hat{\mathbf{n}}\) es un vector unitario normal al elemento de área de superficie, dS, y dirigido desde el interior del volumen hacia el exterior. Así, la carga total\(Q_{t}=\int \int \int_{V} d V \rho_{t}\) contenida dentro del volumen V se puede calcular a partir de un conocimiento del campo eléctrico en todas partes de la superficie S limitando el volumen V:

\[Q_{t}=\epsilon_{0} \int \int_{S} d S(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \hat{\mathbf{n}}). \label{2.16}\]

A menudo es útil reescribir la Ecuación (2.1.4) en términos del vector de desplazamiento\(\overrightarrow{\mathrm{D}}=\epsilon_{0} \overrightarrow{\mathrm{E}}+\overrightarrow{\mathrm{P}}\). Observe que\(\vec D\) y\(\vec P\) tienen las mismas unidades, culombs/m ², y estas unidades son diferentes de las unidades de campo eléctrico de voltios/m. El uso de la definición anterior de\(\vec D\) la cuarta ecuación de Maxwell se convierte

\[\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{D}})=\rho_{f}, \label{2.17}\]

donde ρ _f es la densidad de los cargos libres. Integrar la Ecuación (\ ref {2.17}) sobre un volumen V y aplicar el Teorema de Gauss para obtener

\[\int \int \int_{V} d V d i v(\overrightarrow{\mathrm{D}})=\int \int_{S} d S(\overrightarrow{\mathrm{D}} \cdot \hat{\mathbf{n}})=\int \int \int_{V} d V \rho_{f}. \nonumber \]

De esto se deduce que la carga libre total dentro de un volumen V puede calcularse a partir de un conocimiento del vector de desplazamiento\(\vec D\),, sobre la superficie S limitando el volumen V:

\[Q_{f}=\iint_{S} d S(\overrightarrow{\mathrm{D}} \cdot \hat{\mathbf{n}}). \label{2.18}\]

2.3.2 Condición de Límite sobre\(\vec D\).

El teorema de Gauss en forma de Ecuación (\ ref {2.18}) puede usarse para mostrar que el componente normal del vector de desplazamiento,\(\vec D\), debe ser continuo en el límite entre dos materiales diferentes si ese límite no contiene cargas superficiales libres. Consulte la Figura (2.3.4). Sea SS la superficie que separa la región (1) de la región (2). Aplicar la ecuación (\ ref {2.18}) a una caja de relleno que se encuentra a ambos lados de la superficie delimitadora SS. El área superficial de la caja de balines es ∆S y es de dL de espesor: el grosor dL se tomará como pequeño comparado con las dimensiones laterales de la caja de balines, ∼\(\sqrt{\Delta S}\). La contribución a la integral de superficie en (\ ref {2.18}) desde los lados de la caja de bolletas será insignificante porque (1) su área será muy pequeña ya que dL es relativamente pequeña, y (2) los componentes de\(\overrightarrow{\mathrm{D}}_{1}, \overrightarrow{\mathrm{D}}_{2}\) paralelo con la superficie SS, los componentes tangenciales, serán casi constantes sobre el dimensiones de la caja de la pill-box y así como el exterior

Figura\(\PageIndex{4}\): Aplicación del Teorema de Gauss a una caja de balines que se encuentra a horcajadas sobre una superficie de discontinuidad entre dos materiales.

normal cambia de dirección en 360 grados alrededor del perímetro de la caja de bolletas, las contribuciones positivas y negativas a la integral de superficie cancelarán. Así, en el límite como dL → 0 y ∆A → 0, la integral superficial tomada sobre la superficie de la caja de balines vendrá dada por

\[\int \int_{\text {Pill-box}} d S(\overrightarrow{\mathrm{D}} \cdot \hat{\mathbf{n}})=\left(\overrightarrow{\mathrm{D}}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2}\right) \Delta A+\left(\overrightarrow{\mathrm{D}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{1}\right) \Delta A. \nonumber \]

Pero\(\overrightarrow{\mathrm{D}}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2}=+D_{2 n}\) y\(\overrightarrow{\mathrm{D}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{1}=-D_{n 1}\) donde D _2n, D _1n son los componentes de\(\overrightarrow{\mathrm{D}}_{2}\),\(\overrightarrow{\mathrm{D}}_{1}\) normales a la superficie delimitadora SS. Se deduce del teorema de Gauss, Ecuación (\ ref {2.18}), que si no hay densidades de carga libre en los dos materiales entonces la carga total contenida en la caja de golosinas es cero y por lo tanto D _2n −D _1n = 0, de manera que el componente normal de D debe ser continuo a través de la superficie delimitadora SS. Este resultado sigue siendo válido aunque la densidad volumétrica de las cargas libres no sea cero porque la carga total contenida en la caja de la figura (2.3.4) va a cero ya que el volumen de la caja de balines va a cero con el grosor de la caja de balines, dL. El componente normal de solo\(\vec D\) puede ser discontinuo si la superficie SS lleva una densidad de carga superficial. Si la superficie delimitadora SS lleva una densidad de carga superficial de σ _f culombs/M ², la carga total contenida dentro de la caja de paquetes de la Figura (2.3.4) es σ _f ∆A Coulombs, y la Ecuación (\ ref {2.18}) da

\[D_{2 n} \Delta A-D_{1 n} \Delta A=\sigma_{f} \Delta A\nonumber \]

ya que la carga contenida dentro de la caja de la pill-box, σ _f ∆A, es independiente de dL, y no desaparece como dL → 0. De ello se deduce que cualquier discontinuidad en el componente normal del vector de desplazamiento D es una indicación y una medida de la presencia de una densidad de carga superficial:

\[\sigma_{f}=D_{2 n}-D_{1 n}. \label{2.19} \]

2.3.3 Discontinuidad en el Componente Normal del Vector de Polarización.

El teorema de Gauss se puede utilizar para mostrar que una discontinuidad en el componente normal del vector de polarización eléctrica,\(\vec P\), produce una densidad superficial de cargas ligadas, σ _b. Considerar una superficie que separa regiones que tienen diferentes propiedades de material como la que se muestra en la Figura (2.3.4), y en particular dos regiones que tienen diferentes densidades de polarización\(\vec P\) ₁ y\(\vec P\) ₂. Que no haya distribuciones de cargo gratuito, y que no haya cargos gratuitos en la superficie de la discontinuidad, SS. Para esta situación, la ecuación (2.1.4) se convierte

\[\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{E}})=-\frac{1}{\epsilon_{0}} \operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{P}})=\frac{\rho_{b}}{\epsilon_{0}}. \nonumber \]

Aplica el teorema de Gauss a esta ecuación para una caja de pill-box que se encuentra a horcajadas sobre el límite SS como la ilustrada en la Figura (2.3.4). En el límite como dL → 0 y ∆A → 0 la superficie integral sobre la caja de fichas del campo eléctrico da

\[\int \int_{P i l l-b o x} d S(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \hat{\mathbf{n}})=\left(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2}\right) \Delta A+\left(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{1}\right) \Delta A.\nonumber \]

Pero\(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2}=E_{2 n}\), y\(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{1}=-E_{1 n}\) donde E _2n y E _1n son los componentes del campo eléctrico normales a la superficie delimitadora SS. Por lo tanto

\[\int \int \int_{\text {Pill-box }} d V d i v(\overrightarrow{\mathrm{E}})=\frac{1}{\epsilon_{0}} \int \int \int_{\text {Pill-box }} d V \rho_{b}=\frac{Q_{b}}{\epsilon_{0}} \nonumber \]

y el teorema de Gauss da

\[\int \int_{P i l l-b o x} d S(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \hat{\mathbf{n}})=\left(E_{2 n}-E_{1 n}\right) \Delta A=\frac{Q_{b}}{\epsilon_{0}}. \nonumber \]

Q _b es la carga total ligada contenida en la caja de balines. A medida que el grosor de la caja de paquetes se reduce a cero, las únicas cargas ligadas que quedan en la caja de paquetes se deben a las cargas ligadas a la superficie, σ _b, y por lo tanto Q _b = σ _b ∆A. de ello se deduce que

\[\sigma_{b}=\epsilon_{0}\left(E_{2 n}-E_{1 n}\right). \label{2.20} \]

Esta ecuación (\ ref {2.20}) es el análogo de la Ecuación (\ ref {2.19}) y las derivaciones de estas dos ecuaciones son similares. En el presente caso se ha supuesto que no hay cargas superficiales libres en la superficie de interfaz SS de manera que a partir de la Ecuación (\ ref {2.19}) se tiene (D _2n − D _1n) = 0 y por lo tanto de la definición de\(\vec D\)

\[D_{2 n}-D_{1 n}=\left(\epsilon_{0} E_{2 n}+P_{2 n}\right)-\left(\epsilon_{0} E_{1 n}+P_{1 n}\right)=0. \nonumber \]

Usando la ecuación (\ ref {2.20}) da

\[\sigma_{b}=-\left(P_{2 n}-P_{1 n}\right). \label{2.21} \]

Cualquier discontinuidad en el componente normal del vector Polarización genera una densidad superficial de cargas ligadas. Estas cargas ligadas generan campos eléctricos y deben tenerse en cuenta explícitamente cuando el campo eléctrico se calcula a partir de sus fuentes utilizando la Ecuación (2.1.5), (la aplicación directa de la ley de Coulomb), o cuando se utiliza la Ecuación (2.2.6) para calcular la función potencial para una distribución de libre y cargos vinculados.