2.4: Los componentes tangenciales de E
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De la primera ecuación de Maxwell, Ecuación (2.1.1) curl (\(\vec E\)) = 0, se deduce que los componentes tangenciales del vector de campo eléctrico deben ser continuos a través de cualquier superficie. Considera un bucle dL largo y dw ancho que abarca una superficie SS: el bucle tiene un lado en la región (1) y el otro lado en la región (2) como se muestra en la Figura (2.4.5); los lados dw se eligen para que sean perpendiculares a la superficie SS. E t1 y E t2 son los componentes del campo eléctrico paralelos a la superficie SS - los componentes tangenciales del campo eléctrico. Del teorema de Stokes, Sección (1.3.4), se tiene
\[\iint_{L o o p} d S(\hat{\mathbf{n}} \cdot \operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{E}}))=\oint_{L o o p} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}}. \nonumber \]
Pero curl (\(\vec E\)) = 0, por lo tanto la integral de línea debe desvanecerse:
\[\oint_{\text {Loop}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=0. \nonumber \]
Al calcular la integral de línea se puede tomar el límite ya que dw se vuelve muy pequeño de manera que las contribuciones de los componentes del campo eléctrico paralelas a dw y por lo tanto normales a la superficie se pueden hacer insignificantes pequeñas. En este límite la integral de línea se convierte
\[\oint_{L o o p} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}}=E_{t 1} d L-E_{t 2} d L. \nonumber \]
El signo negativo surge porque en la Región (2) el bucle se recorre en dirección opuesta a la dirección de E t2. Se deduce del hecho de que la línea integral debe desvanecerse que
\[E_{t 2}=E_{t 1}, \label{2.21} \]
o en otras palabras, los componentes tangenciales de\(\vec E\) deben ser continuos a través de la superficie SS. Dado que el SS es una superficie arbitraria, se deduce que los componentes tangenciales del campo eléctrico deben ser continuos a través de cualquier superficie.