4.2: La Ley de Biot-Savart

A menudo sucede que la densidad de corriente se limita a una sección transversal relativamente pequeña. Consideremos, por ejemplo, el caso de un cable delgado que transporta una corriente, ver Figura (4.1.2). Para este caso la densidad de corriente es de l/S dentro del cable, donde S es el área de sección transversal del cable, y la densidad de corriente es cero fuera del cable. Si el grosor del alambre es muy pequeño en comparación con la distancia al punto de observación, se pueden descuidar las variaciones muy pequeñas de\(|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|=\sqrt{(\mathrm{X}-\mathrm{x})^{2}+(\mathrm{Y}-\mathrm{y})^{2}+(\mathrm{Z}-\mathrm{z})^{2}}\) para los diversos elementos a través de la sección del alambre, de modo que cuando se integran sobre la sección transversal del alambre Las ecuaciones (4.1.14) y (4.1.15) se convierten en integrales de línea:

\[\vec{A}_{P}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \int_{W i r e} \frac{d \vec{L}}{|\vec{r}|}, \label{4.16}\]

Figura\(\PageIndex{3}\): Derivación de la ley de Biot-Savart a partir de los campos generados por una carga puntual que se mueve lentamente.

y

\[\overrightarrow{\mathrm{B}}_{P}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}}{4 \pi} \int_{\text {Wire }} \frac{(\overrightarrow{\mathrm{d}} \overrightarrow{\mathrm{L}} \times \overrightarrow{\mathrm{r}})}{|\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}. \label{4.17}\]

La ecuación (\ ref {4.17}) se llama la ley de Biot-Savart. Observe que la intensidad de campo magnético cae como 1/r ² con la distancia de un pequeño elemento de corriente. La ley de Biot-Savart también se puede deducir directamente de la expresión para el campo magnético generado por una carga puntual que se mueve lentamente, Capítulo (1), Ecuación (1.1.7). Considera un pequeño elemento de un cable que contiene N cargas q por unidad de volumen que se mueven a lo largo del cable con una velocidad v, ver Figura (4.2.3). Se supone que la densidad de carga aportada por los operadores de carga móviles se compensa exactamente con una densidad numérica igual de cargas fijas de signo opuesto. La corriente que fluye a través del cable es numéricamente igual a la carga contenida en un cilindro de área S e igual en longitud a la velocidad, v: todas las cargas móviles en dicho cilindro pasarán por una sección transversal dada en 1 segundo,

\[\mathrm{I}=\mathrm{NSq}_{\mathrm{V}} \quad \text { Ampères }. \label{4.18}\]

El campo eléctrico debido a los portadores de carga móviles contenidos en un trozo de cable dL de largo viene dado por

\[\overrightarrow{\mathrm{dE}}_{P}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \mathrm{NSqdL} \frac{\overrightarrow{\mathrm{r}}}{|\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}. \nonumber \]

Estas cargas producen un campo magnético debido a su movimiento

\[\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{B}}_{P}=\frac{1}{c^{2}}\left[\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{dE}}_{P}\right]=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \mathrm{NSqdL} \frac{[\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{r}}]}{|\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}. \nonumber \]

Las cargas estacionarias compensadoras no producen campo magnético porque su velocidad relativa al observador es cero. Sin embargo, producen un campo eléctrico que cancela el campo eléctrico debido a las cargas móviles. Ahora usa el hecho de que\(\vec v\) y d\(\vec L\) son paralelos, junto con la Ecuación (\ ref {4.18}), para obtener

\[\overrightarrow{\mathrm{dB}}_{P}=\frac{I}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{[\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}} \times \overrightarrow{\mathrm{r}}]}{|\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{3}}. \nonumber \]

Esto lleva directamente a la expresión integral Ecuación (\ ref {4.17}) para la ley de Biot y Savart desde entonces\(c^{2}=1 / \epsilon_{0} \mu_{0}\).