4.3: Problemas estándar

4.3.1 Un Alambre Recto Largo.

Cada elemento del cable, d\(\vec L\), se dirige a lo largo de z, y por lo tanto A tiene solo un componente z, ver Figura (4.3.4) y Ecuación (4.1.16):

\[\mathrm{d} \mathrm{A}_{\mathrm{z}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathrm{I}_{0} \mathrm{d} \mathrm{z}}{\sqrt{\mathrm{z}^{2}+\mathrm{x}^{2}}}. \label{4.19}\]

Desafortunadamente, la integral de la Ecuación (\ ref {4.19}) diverge si se evalúa en el intervalo −∞ ≤ z ≤ ∞. Esto indica que un cable infinitamente largo no es físico; eventualmente los dos extremos del cable deben estar conectados para completar el bucle de corriente de estado estacionario. Para continuar, se puede calcular la contribución al potencial vectorial a partir del segmento de cable grande pero finito −L ≤ z ≤ +L El resultado es

\[\mathrm{A}_{\mathrm{z}}(\mathrm{x})=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{4 \pi} \ln \left(\frac{\sqrt{\mathrm{L}^{2}+\mathrm{x}^{2}}+\mathrm{L}}{\sqrt{\mathrm{L}^{2}+\mathrm{x}^{2}}-\mathrm{L}}\right). \nonumber \]

Claramente A _z debe tener el mismo valor en todas partes en un círculo de radio x centrado en el origen y que se encuentra en el plano x-y. La expresión para el

Figura\(\PageIndex{4}\): Un cable recto de 2L metros de largo, y portando una corriente de I ₀ Amp`eres, utilizado para calcular el potencial vectorial y el campo magnético generado en un punto P en el plano central.

Por lo tanto, el potencial vectorial puede escribirse en coordenadas polares cilíndricas como

\[\mathrm{A}_{\mathrm{z}}(\mathrm{r})=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{4 \pi} \ln \left(\frac{\sqrt{\mathrm{L}^{2}+\mathrm{r}^{2}}+\mathrm{L}}{\sqrt{\mathrm{L}^{2}+\mathrm{r}^{2}}-\mathrm{L}}\right). \nonumber \]

Aunque esta expresión es estrictamente válida solo para puntos en el plano x-y, se desprende claramente de los argumentos de simetría que para L grande y z pequeña el potencial vectorial debe ser esencialmente independiente de z. El campo magnético correspondiente viene dado por\(\vec B\) = curl (\(\vec A\)), y ya que solo\(\vec A\) tiene un z- , y dado que este componente z es independiente del ángulo θ, el campo magnético tiene solo un componente θ-componente:

\[\mathrm{B}_{\theta}=-\left(\frac{\partial \mathrm{A}_{z}}{\partial \mathrm{r}}\right)=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{2 \pi} \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{r} \sqrt{\mathrm{L}^{2}+\mathrm{r}^{2}}}. \nonumber \]

Si L ≫ r esta expresión se reduce a

\[\mathrm{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{2 \pi} \frac{1}{\mathrm{r}}. \label{4.20}\]

4.3.2 Un Alambre Recto Largo Revisitado.

El resultado Ecuación (\ ref {4.20}) para el campo magnético generado por un cable recto largo es tan simple que sugiere que debe haber un método fácil para obtenerlo: un método basado en la simetría del problema. Los problemas magnéticos en los que la distribución de corriente es muy simétrica a menudo pueden resolverse mediante una aplicación del teorema de Stokes (Chpt. (1), Sección (1.3.4)). El teorema de Stokes establece que la integral superficial del rizo de cualquier campo vectorial sobre una superficie delimitada por una curva cerrada C puede ser reemplazada por la integral de línea de ese vector sobre la curva C. Aplicar este teorema a la ecuación de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}})=\mu_{0}\left(\overrightarrow{\mathrm{J}}_{\mathrm{f}}+\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{M}})\right)=\mu_{0} \overrightarrow{\mathrm{J}}_{\mathrm{T}}. \nonumber \]

Para el problema actual no hay densidad de magnetización;\(\overrightarrow{\mathrm{M}}=0\) en todas partes y por lo tanto\(\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{M}})=0\) en todas partes y\(\overrightarrow{\mathrm{J}}_{\mathrm{T}}=\overrightarrow{\mathrm{J}_{\mathrm{f}}}\). El flujo de corriente se limita a la sección transversal del alambre de manera que si se aplica el teorema de Stokes a la superficie delimitada por el círculo de radio R que se muestra en la Figura (4.3.5) se obtiene

\[\iint_{S u r f a c e} \operatorname{dScurl}(\overrightarrow{\mathrm{B}}) \cdot \hat{\mathbf{n}}=\mu_{0} \iint_{\text {Surface}} \mathrm{dS} \overrightarrow{\mathrm{J}}_{\mathrm{f}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\mu_{0} \mathrm{I}_{0}, \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{5}\): Geometría utilizada para calcular el campo magnético generado por un cable recto largo que transporta una corriente de I ₀ Amp`eres.

donde dS es el elemento de área, y\(\hat{\mathbf{n}}\) es un vector unitario normal al elemento de área de superficie. Pero desde el teorema de Stokes

\[\iint_{S u r f a c e} \operatorname{dS} \operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}}) \cdot \hat{\mathbf{n}}=\oint_{C} \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}}, \nonumber \]

\[\oint_{C} \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\mu_{0} \mathrm{I}_{0}. \nonumber \]

La ley de Biot-Savart, Ecuación (4.1.17), puede utilizarse para convencerse de que sólo\(\vec B\) tiene un componente en la dirección tangente al círculo C de la Figura (4.3.5). Por simetría este componente debe ser independiente de la posición a lo largo de la circunferencia del círculo, y la línea integral en es muy fácil de llevar a cabo.

\[\oint_{C} \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}}=2 \pi \mathrm{RB}_{\theta}=\mu_{0} \mathrm{I}_{0}, \nonumber \]

o

\[\mathrm{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{2 \pi \mathrm{R}}, \label{4.21}\]

Figura\(\PageIndex{6}\): El campo magnético generado a lo largo del eje de un bucle de corriente circular.

de acuerdo con la Ecuación (\ ref {4.20}) deducida del potencial vectorial. Desafortunadamente, la mayoría de los problemas no presentan la simetría suficiente para ser resueltos de manera tan simple.

4.3.3 Un Bucle Circular.

Consulte la Figura (4.3.6). En este caso el campo se calcula más simplemente por aplicación directa de la ley de Biot-Savart, Ecuación (4.1.17). El elemento de campo magnético, d\(\vec B\), generado por cualquier elemento pequeño de longitud, d\(\vec L\), a lo largo del cable es perpendicular tanto a d\(\vec L\)\(\vec r\) como a como se muestra en la Figura (4.3.6). El componente transversal de d\(\vec B\) se cancela por simetría por la contribución del elemento de longitud que es diametralmente opuesto a d\(\vec L\). Así, a lo largo del eje del bucle solo hay un componente z del campo magnético:

\[\mathrm{dB}_{\mathrm{z}}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{4 \pi}\left(\frac{\mathrm{dL}}{\mathrm{r}^{2}}\right) \cos \phi=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{4 \pi} \frac{\mathrm{RdL}}{\mathrm{r}^{3}}. \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{7}\): El campo magnético a lo largo del eje de un solenoide de L metros de largo, R metros de radio, y que tiene N vueltas por metro.

Esta expresión se puede integrar fácilmente porque la distancia r no depende de la posición alrededor de la circunferencia del alambre. Así

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{4 \pi}\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{r}^{3}}\right) \oint_{C} \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{2} \frac{\mathrm{R}^{2}}{\left[\mathrm{z}^{2}+\mathrm{R}^{2}\right]^{3 / 2}}. \label{4.22}\]

Esta expresión, junto con el principio de superposición, se puede utilizar para calcular el campo magnético a lo largo del eje de un solenoide.

4.3.4 El Campo Magnético a lo largo del Eje de un Solenoide.

Considera una bobina L metros de largo que se enrolla uniformemente con N vueltas/metro. El campo magnético en un punto del eje de la bobina se puede calcular como la suma de los campos generados por cada giro por separado utilizando el principio de superposición. El campo generado por un solo giro ubicado en\(\eta\) viene dado por

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}=\left(\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0} \mathrm{R}^{2}}{2}\right) \frac{1}{\left((\mathrm{z}-\eta)^{2}+\mathrm{R}^{2}\right)^{3 / 2}}, \nonumber \]

donde I ₀ es la corriente; esto se desprende de la Ecuación (\ ref {4.22}). El campo generado en z por los\(\mathrm{N} d \eta\) giros contenidos en el elemento de longitud\(d \eta\) viene dado por

\[\mathrm{dB}_{\mathrm{z}}=\left(\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0} \mathrm{R}^{2}}{2}\right) N \frac{d \eta}{\left((\mathrm{z}-\eta)^{2}+\mathrm{R}^{2}\right)^{3 / 2}}. \nonumber \]

Tras la integración sobre\(\eta\) el campo total se convierte en

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}=\left(\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0} \mathrm{R}^{2} \mathrm{N}}{2}\right) \int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d \eta}{\left((\mathrm{z}-\eta)^{2}+\mathrm{R}^{2}\right)^{3 / 2}}. \nonumber \]

Esta es una integral estándar:

\[\mathrm{B}_{z}=\left(\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0} \mathrm{N}}{2}\right)\left[\frac{([\mathrm{L} / 2]+\mathrm{z})}{\sqrt{([\mathrm{L} / 2]+\mathrm{z})^{2}+\mathrm{R}^{2}}}+\frac{([\mathrm{L} / 2]-\mathrm{z})}{\sqrt{([\mathrm{L} / 2]-\mathrm{z})^{2}+\mathrm{R}^{2}}}\right]. \label{4.23}\]

El cálculo de la intensidad de campo en una posición fuera del eje es más difícil, y debe realizarse numéricamente. En el límite ya que L se vuelve muy grande, es decir. (z/L) 1, la dependencia z cae para dar

\[\mathrm{B}_{z} \rightarrow \mu_{0} \mathrm{NI}_{0}\left(\frac{\mathrm{L} / 2}{\sqrt{(\mathrm{L} / 2)^{2}+\mathrm{R}^{2}}}\right) \rightarrow \mu_{0} \mathrm{NI}_{0} \quad \text { if }(\mathrm{R} / \mathrm{L}) \ll 1. \label{4.24}\]

(Tenga en cuenta que N no es el número total de vueltas en el solenoide sino el número total de vueltas dividido por la longitud L.)

4.3.5 El Campo Magnético de un Solenoide Infinito.

El campo en un solenoide infinito no puede depender de la posición a lo largo de z porque la bobina aparece igual a un observador fijo incluso si se desplaza a lo largo de su eje a través de cualquier intervalo finito, ∆z El flujo de corriente en el solenoide gira es transversal al eje del solenoide, por lo tanto de acuerdo con la expresión (4.2.1) para el potencial vectorial,\(\vec A\) debe ser puramente transversal; es decir, el potencial vectorial\(\vec A\) puede tener solo los componentes A _r y A _θ cuando se escriben en coordenadas polares cilíndricas. Estos componentes no pueden depender del ángulo θ porque cualquier rotación del solenoide alrededor de su eje deja la distribución de corriente sin cambios. El rizo de un vector que tiene solo los componentes A _r y A _θ,

Figura\(\PageIndex{8}\): Diagrama para ilustrar el uso del Teorema de Stokes para mostrar que el campo fuera de un solenoide infinito es cero.

y para lo cual estos componentes dependen solo de la coordenada radial, r, tiene solo un componente z,

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}=\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{A}})_{z}=\frac{1}{\mathrm{r}} \frac{\partial\left(\mathrm{r} \mathrm{A}_{\theta}\right)}{\partial \mathrm{r}}. \nonumber\]

Concluimos, por lo tanto, que el campo magnético puede tener solo un componente, _Bz, y ese componente puede depender solo de la distancia r del eje del solenoide. Además, tenga en cuenta que en todas partes dentro del solenoide curl (\(\vec B\)) = 0 de las ecuaciones de Maxwell ya que no hay densidad de corriente libre y ninguna densidad de magnetización por hipótesis. Pero como solo\(\vec B\) tiene un componente z que es independiente de θ y z, su curl tiene solo el componente

\[\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}})_{\theta}=-\frac{\partial \mathrm{B}_{z}}{\partial \mathrm{r}}=0 \nonumber \]

y por lo tanto _Bz es independiente de la distancia desde el eje del solenoide. Una línea de argumento similar se aplica igualmente a la región fuera del solenoide. Se deduce de la Ecuación (\ ref {4.24}), la expresión para el campo en el centro de un solenoide largo, que el campo en todas partes dentro de un solenoide infinito debe estar dado por

\[\mathrm{B}_{z}=\mu_{0} \mathrm{NI}_{0} \quad \text { Teslas }. \label{4.25}\]

Como se mostró anteriormente, fuera del solenoide infinito el campo debe ser una constante, B _z = B ₁ decir. El valor de B ₁ puede calcularse mediante el teorema de Stokes, Figura (4.3.8). Aplicar el teorema de Stokes a un área delimitada por el rectángulo L largo y d ancho que está orientado perpendicular al flujo de corriente en los devanados. De las ecuaciones de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}})=\mu_{0} \overrightarrow{\mathrm{J}}_{\mathrm{f}}, \nonumber \]

ya que no hay densidad de magnetización y los campos son estáticos. Por lo tanto

\[\int \int_{S} \mathrm{dS} \operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}}) \cdot \hat{\mathbf{n}}=\mu_{0} \iint_{S} \mathrm{dS} \overrightarrow{\mathrm{J}}_{\mathrm{f}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\mu_{0} \mathrm{NI}_{0} \mathrm{L}. \nonumber \]

Este último resultado sigue porque\(\vec J\) _f = 0 excepto en la sección transversal de cada cable. Pero, refiriéndose a la Figura (4.3.8)

\[\int \int_{S} \mathrm{dS} \operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{B}}) \cdot \hat{\mathbf{n}}=\oint_{C} \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}}=\mathrm{B}_{\mathrm{z}} \mathrm{L}-\mathrm{B}_{1} \mathrm{L}. \nonumber \]

Los lados del bucle d metros de largo no aportan nada porque son perpendiculares al campo magnético. Por lo tanto, se puede concluir que

\[ \left(\mathrm{B}_{\mathrm{z}}-\mathrm{B}_{1}\right)=\mu_{0} \mathrm{NI}_{0}.\label{4.26}\]

Pero dentro del solenoide el campo es B _z = µ ₀ NI ₀, y la Ecuación (\ ref {4.26}) requiere entonces que el campo fuera del solenoide sea cero. Los campos generados por un solenoide infinitamente largo son cero en todas partes fuera del solenoide, y un campo uniforme paralelo al eje, B _z = µ _{0 NI 0}, en todas partes dentro del solenoide.

4.3.6 El Campo generado por un Dipolo Magnético Puntual.

Considera un bucle de corriente de radio a metros centrado en el origen y tendido en el plano x-y como se muestra en la Figura (4.3.9). Por simplicidad, dejar que el punto de observación, P, se encuentre en el plano y-z; esta suposición no implica pérdida de generalidad porque el potencial vectorial y el campo deben ser independientes del ángulo alrededor del eje z. La contribución del elemento lineal\(\overrightarrow{\mathrm{d} \mathrm{L}}=a d \phi\left[-\sin \phi \hat{\mathbf{u}}_{x}+\cos \phi \hat{\mathbf{u}}_{y}\right]\) al potencial vectorial en P (0, Y, Z) es

\[\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{A}}_{\mathrm{P}}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{4 \pi} \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{L}}}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{4 \pi} \text { a d } \frac{\left(-\sin \phi \hat{\mathbf{u}}_{x}+\cos \phi \hat{\mathbf{u}}_{y}\right)}{|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|}. \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{9}\): Cálculo del potencial vectorial generado por un bucle de corriente de radio a portando una corriente de I ₀ Amps.

Como es habitual\(\hat{\mathbf{u}}_{x}\) y\(\hat{\mathbf{u}}_{y}\) son vectores unitarios dirigidos a lo largo de x e y.

\[|\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|=\sqrt{\mathrm{a}^{2} \cos \phi^{2}+[\mathrm{Y}-\mathrm{a} \sin \phi]^{2}+\mathrm{Z}^{2}}, \nonumber \]

o

\[ |\overrightarrow{\mathrm{R}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|=\mathrm{R} \sqrt{1-\frac{2 \mathrm{aY} \sin \phi}{\mathrm{R}^{2}}+\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{R}^{2}}}, \nonumber \]

donde R ² = Y ² + Z ². Usando el teorema de expansión binomial junto con la condición (A/r), 1 se encuentra, a primer orden en (A/r),

\[\overrightarrow{\mathrm{dA}}_{P}=\frac{\mu_{0} \mathrm{I}_{0}}{4 \pi} \frac{\mathrm{ad} \phi}{\mathrm{R}}\left(-\sin \phi \hat{\mathbf{u}}_{x}+\cos \phi \hat{\mathbf{u}}_{y}\right)\left(1+\frac{\mathrm{aY} \sin \phi}{\mathrm{R}^{2}}\right). \nonumber \]

Integrar sobre el ángulo\(\phi\) de\(\phi\) = 0 a\(\phi\) = 2\(\pi\). Las integrales sobre el pecado\(\phi\), cos (\(\phi\)), y pecado (\(\phi\)) cos (\(\phi\)) desaparecen. Sin embargo, la integral sobre el pecado (\(\phi\)²⁾ da\(\pi\). Así\(\vec A\) _P tendrá solo un componente paralelo al eje x para la elección anterior de P que se encuentra en el plano Y-Z en (0, Y, Z):

\[\mathrm{A}_{\mathrm{x}}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\pi \mathrm{a}^{2} \mathrm{I}_{0}\right) \frac{Y}{\mathrm{R}^{3}}. \nonumber \]

Este resultado indica, debido a la simetría alrededor del eje z, que en las coordenadas polares esféricas el potencial del vector tiene solo un componente, _\(\phi\)A. Dejar\(\mathrm{m}=\pi \mathrm{a}^{2} \mathrm{I}_{0}\); entonces

\[\mathrm{A}_{\phi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathrm{m} \sin \theta}{\mathrm{R}^{2}}. \nonumber\]

En notación vectorial este resultado puede ser escrito

\[\overrightarrow{\mathrm{A}}_{d i p}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{(\overrightarrow{\mathrm{m}} \times \overrightarrow{\mathrm{R}})}{\mathrm{R}^{3}} \quad \text { Tesla }-\text { meters }, \label{4.27}\]

donde\(|\overrightarrow{\mathrm{m}}|=\mathrm{I}_{0} \mathrm{A}\), y\(\mathrm{A}=\pi \mathrm{a}^{2}\), el área del bucle de corriente. Se puede demostrar que este mismo resultado se obtiene para cualquier bucle de corriente pequeño, cualquiera que sea su forma, en el límite ya que las dimensiones del bucle se vuelven muy pequeñas en comparación con la distancia al punto de observación, R.

Es sencillo, pero tedioso, demostrar que el campo magnético correspondiente a la Ecuación (\ ref {4.27}) viene dado por

\[\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\text {dip}}=\operatorname{curl}\left(\overrightarrow{\mathrm{A}}_{\text {dip}}\right)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3[\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{R}}] \overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{R}^{5}}-\frac{\overrightarrow{\mathrm{m}}}{\mathrm{R}^{3}}\right). \label{4.28}\]

Este resultado se puede obtener mejor calculando el rizo usando coordenadas cartesianas. Eqn. (\ ref {4.28}) para el campo magnético generado por un dipolo de punto magnético tiene exactamente la misma forma que la Ecuación (1.2.10), el campo eléctrico producido por un dipolo puntual eléctrico.

4.3.7 Una Varilla Larga Magnetizada Uniforme.

Deje que una varilla cilíndrica sea magnetizada uniformemente a lo largo de su eje. Dentro de la varilla la densidad de magnetización, M _z = M ₀, es independiente de la posición, es decir. \(\partial \mathrm{M}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{r}=0\),\(\partial \mathrm{M}_{\mathrm{z}} / \partial \phi=0\) y\(\partial \mathrm{M}_{z} / \partial z=0\). Por lo tanto, curl (\(\vec M\)) = 0 en todas partes dentro de la varilla. Del mismo modo, curl (\(\vec M\)) = 0 en todas partes fuera de la varilla. Sin embargo, curl (\(\vec M\)) no se desvanece en la superficie de la varilla, ver Figura (4.3.10). En las coordenadas polares cilíndricas se encuentra solo un componente distinto de cero,\(\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{M}})_{\theta}=-\partial \mathrm{M}_{2} / \partial \mathrm{r}\) el componente radial de curl (\(\vec M\)) es cero porque la densidad de magnetización no depende del ángulo azimutal,\(\phi \). Observe que M _z /r es cero en todas partes excepto en la superficie donde M _z varía rápidamente de M ₀ en el interior a M _z = 0 en el exterior de la varilla. Esta rápida variación radial de _Mz introduce una singularidad integrable en el componente angular de curl (\(\vec M\)):

\[\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{M}})_{\theta}=-\frac{\partial \mathrm{M}_{z}}{\partial \mathrm{r}}=\mathrm{M}_{0} \delta(\mathrm{r}-\mathrm{R}). \nonumber \]

donde\(\delta(\mathrm{r}-\mathrm{R})\) está la\(\delta\) función Dirac que se desvanece excepto en el radio R=R. La cantidad curl (\(\vec M\)) es equivalente a una densidad de corriente real hasta

Figura\(\PageIndex{10}\): Varilla cilíndrica larga magnetizada a lo largo del eje.

Figura\(\PageIndex{11}\): Un disco magnetizado uniformemente.

producir un campo magnético se refiere. La densidad de corriente superficial anterior produce exactamente los mismos campos magnéticos que una lámina de corriente superficial que tiene una intensidad de M ₀ Amps/metro; en términos de los devanados en un solenoide, es equivalente a N vueltas/metro portando una corriente de I ₀ amperios donde NI ₀ = M ₀ Amps/metro. El campo dentro de una varilla uniformemente magnetizada viene dado por la fórmula infinita del solenoide, Ecuación (\ ref {4.25}),

\[\mathrm{B}_{\mathrm{z}}=\mu_{0} \mathrm{M}_{0} \quad \text { Teslas. }. \label{4.29}\]

Desafortunadamente este campo no es accesible. El campo fuera de una varilla magnetizada infinitamente larga es cero.

4.3.8 Un Disco Magnetizado Uniforme.

La discontinuidad en el componente tangencial de la densidad de magnetización en las superficies de un disco magnetizado uniformemente produce una densidad efectiva de corriente superficial que establece un campo magnético cuya distribución es exactamente equivalente al campo establecido por un solenoide de la misma longitud. La fuerza de la lámina de corriente efectiva es M ₀ Amps/metro, y es equivalente a N vueltas/metro llevando I ₀ Amps, donde NI ₀ = M ₀. Esto se puede mostrar usando el Teorema de Stokes aplicado a un pequeño bucle de área A que abarca la superficie del disco como se muestra en la Figura (4.3.11). El campo a lo largo del eje de un disco de espesor Ld viene dado por la Ecuación (\ ref {4.23}) aplicada a este caso:

\[\mathrm{B}_{z}=\frac{\mu_{0} \mathrm{M}_{0}}{2}\left(\frac{\left[\left(\mathrm{L}_{\mathrm{d}} / 2\right)+z\right]}{\sqrt{\left[\left(\mathrm{L}_{\mathrm{d}} / 2\right)+z\right]^{2}+\mathrm{R}^{2}}}+\frac{\left[\left(\mathrm{L}_{\mathrm{d}} / 2\right)-z\right]}{\sqrt{\left[\left(\mathrm{L}_{\mathrm{d}} / 2\right)-z\right]^{2}+\mathrm{R}^{2}}}\right). \label{4.30}\]

El campo generado por un disco uniformemente magnetizado que tiene un espesor finito es accesible en puntos fuera del disco. La intensidad del campo en el centro de la superficie del disco en r=0 viene dada por

\[\mathrm{B}_{z}=\frac{\mu_{0} \mathrm{M}_{0} \mathrm{L}_{\mathrm{d}}}{2} \frac{1}{\sqrt{\mathrm{L}_{\mathrm{d}}^{2}+\mathrm{R}^{2}}} \quad \text {Teslas}. \nonumber \]

Los imanes permanentes están disponibles para los cuales\(\mu_{0} \mathrm{M}_{0} \approx 1\) Tesla. Los campos externos producidos por dichos imanes pueden ser bastante grandes, del orden de 0.2 Teslas o mayores.