5.3: Una discontinuidad en la permeabilidad

Los problemas que involucran corrientes incrustadas en materiales para los que la permeabilidad varía de un lugar a otro son muy difíciles aunque todos esos materiales presenten una respuesta lineal. Tales problemas suelen resolverse mediante aproximaciones sucesivas: (1) los campos se calculan como si las corrientes de fuente se sumergieran en un medio permeable uniforme; (2) la distribución de magnetización resultante se calcula a partir de la Ecuación (5.1.1) utilizando las permeabilidades reales; (3) los campos debidos a la distribución efectiva de corriente\(\vec J\) _eff = curl (M) se agregan a los campos previamente calculados; (4) el campo total resultante se usa para calcular una nueva distribución de magnetización; (5) el ciclo se repite hasta que se haya asegurado la convergencia adecuada, es decir, hasta el campo de entrada y la salida son esencialmente los mismos.

Hay una clase de problemas magnéticos que son muy similares a los problemas electrostáticos. En una región del espacio que está libre de corriente es apropiado usar un potencial escalar magnético porque curl (H) = 0. En cualquier región en la que la permeabilidad no dependa de la posición B = µH y por lo tanto div (H) = 0 porque div (B) = 0; en tal región el potencial escalar magnético, V _m, debe satisfacer la ecuación de LaPlace. El potencial magnético también debe satisfacer condiciones límite en una superficie de discontinuidad entre regiones que se caracterizan por diferentes permeabilidades. Estas condiciones de límite son:

(1) V _m debe ser continuo a través de la interfaz entre dos materiales. Esta condición es consecuencia de curl (\(\vec H\)) = 0; los componentes tangenciales de\(\vec H\) deben ser continuos a través de la interfaz, como se puede mostrar usando el teorema de Stokes.

(2) El componente normal de B debe ser continuo a través de la interfaz entre dos materiales diferentes. Esta condición es consecuencia de div (\(\vec B\)) = 0; la continuidad del componente normal de B se puede deducir usando el teorema de Gauss. En cuanto a las permeabilidades se tiene

\[\mu_{1}\left(\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}^{1}}{\partial \mathrm{n}}\right)_{\text {Boundary }}=\mu_{2}\left(\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}^{2}}{\partial \mathrm{n}}\right)_{\text {Boundary }} , \label{5.22}\]

donde\(\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\partial \mathrm{n}}\) es la derivada del potencial magnético a lo largo de la normal a la interfaz. Estas dos condiciones límite son esencialmente las mismas que las condiciones límite impuestas a la función de potencial electrostático. Además, el potencial magnético debe exhibir el comportamiento adecuado en el infinito y en el origen al igual que el potencial electrostático. El potencial electrostático y el potencial magnético satisfacen la ecuación de LaPlace, y ambos satisfacen condiciones de límite similares; se deduce que problemas similares deben tener soluciones correspondientemente similares. En particular, las funciones del potencial magnético para una esfera en un campo aplicado uniforme, y para un cilindro en un campo uniforme aplicado transversalmente al eje del cilindro deben tener la misma forma que las de los problemas electrostáticos correspondientes discutidos en el Chpt. (3), secciones (3.2.1 (c) y (d)) y las Figuras (3.2.4 ) y (3.2.5). Para la caja magnética ver las Figuras (5.3.2 y 5.3.3).

5.3.1 Una Esfera Permeable en un Campo Magnético Uniforme.

La función potencial dentro de la esfera viene dada por

\[\mathrm{V}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{i}}=-\frac{3\left(\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}\right) \mathrm{H}_{0}}{\left(1+2\left(\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}\right)\right)} \mathrm{r} \cos \theta . \label{5.23}\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Una esfera permeable colocada en un campo H magnético uniforme de intensidad H ₀ Amps/metro. La permeabilidad de la esfera es µ ₁, y se coloca en un medio que tiene una permeabilidad µ ₂.

Esto corresponde a un campo magnético uniforme a lo largo del eje z. La función potencial fuera de la esfera viene dada por

\[\mathrm{V}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{o}}=-\mathrm{H}_{0} \mathrm{r} \cos \theta+\frac{\left(1-\left(\mu_{2} / \mu_{1}\right)\right)}{\left(1+2\left(\mu_{2} / \mu_{1}\right)\right)} \mathrm{R}^{3} \mathrm{H}_{0} \frac{\cos \theta}{\mathrm{r}^{2}} . \label{5.24}\]

Esto corresponde a un campo magnético uniforme, H ₀, más el campo de un dipolo puntual ubicado en el centro de la esfera y que tiene una fuerza

\[\mathrm{m}=\frac{\left(1-\left[\mu_{2} / \mu_{1}\right]\right)}{\left(1+2\left[\mu_{2} / \mu_{1}\right]\right)} 4 \pi \mathrm{R}^{3} \mathrm{H}_{0} \quad A m p-m^{2} . \nonumber \]

5.3.2 Un Cilindro Permeable Infinitamente Largo en un Campo Magnético Uniforme.

La función potencial dentro del cilindro viene dada por

\[\mathrm{V}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{i}}=-\frac{2\left(\mu_{2} / \mu_{1}\right) \mathrm{H}_{0}}{\left(1+\left(\mu_{2} / \mu_{1}\right)\right)} \mathrm{r} \cos \theta . \label{5.25}\]

Figura\(\PageIndex{3}\): Un cilindro permeable infinitamente largo, radio R, colocado en un campo magnético transversal uniforme, H ₀ Amps/metro. El eje del cilindro está orientado a lo largo del eje z. La permeabilidad del cilindro es µ ₁ y el cilindro se sumerge en un medio cuya permeabilidad es µ ₂.

Esto corresponde a un campo uniforme a lo largo del eje x, paralelo al campo magnético aplicado. La función potencial fuera del cilindro viene dada por

\[\mathrm{V}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{o}}=-\mathrm{H}_{0} \mathrm{r} \cos \theta+\frac{\left(1-\left[\mu_{2} / \mu_{1}\right]\right)}{\left(1+\left[\mu_{2} / \mu_{1}\right]\right)} \mathrm{H}_{0} \mathrm{R}^{2} \frac{\cos \theta}{\mathrm{r}} . \label{5.26}\]

Esto corresponde a un campo magnético uniforme, H ₀, más el campo debido a una línea de dipolos ubicados en el eje del cilindro y que tienen una fuerza

\[\mathrm{m}=2 \pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{H}_{0} ; \frac{\left(1-\left[\mu_{2} / \mu_{1}\right]\right)}{\left(1+\left[\mu_{2} / \mu_{1}\right]\right)} \mathrm{H}_{0} \mathrm{R}^{2} \frac{\cos \theta}{\mathrm{r}} . \nonumber \]

5.3.3 Un Dipolo Magnético Punto Cerca de un Plano Permeable.

No hay cargas puntuales magnéticas, sin embargo, se puede considerar que el campo de un dipolo puntual tiene su origen en dos polos magnéticos que están muy próximos entre sí. Esto sugiere que el problema de un dipolo magnético cerca de la interfaz plana entre dos materiales magnéticamente disímiles puede tratarse por el método de imágenes por analogía con el problema electrostático correspondiente: ver sección (3.2.2 (a) y (b)). La función potencial para una carga de punto magnético de fuerza q _m viene dada por

\[\text{V}_{\text{m}}=\frac{\text{q}_{\text{m}}}{4 \pi}\left(\frac{1}{\text{r}}\right) \nonumber \]

y el campo magnético correspondiente,\(\vec H\), generado por una hipotética carga magnética puntual de fuerza q _m viene dada por la ley de Coulomb

\[\vec{\text{H}}=\frac{\text{q}_{\text{m}}}{4 \pi}\left(\frac{\vec{\text{r}}}{\text{r}^{3}}\right) . \label{5.27}\]

El campo B correspondiente viene dado por

\[ \vec{\text{B}}=\frac{\mu \text{q}_{\text{m}}}{4 \pi}\left(\frac{\vec{\text{r}}}{\text{r}^{3}}\right).\label{5.28}\]

Eqn. (\ ref {5.27}) se puede utilizar para calcular el campo magnético generado por un dipolo magnético. Deje que una carga magnética q _m se ubique en x=0, y=0 y z=d/2. Deje que una segunda carga magnética -q _m se ubique en x=0, y=0 y z=- d/2. Este par de cargas forma un dipolo magnético de fuerza m=qd orientado a lo largo del eje z y posicionado en z=0. El campo magnético del dipolo viene dado por (usando la ecuación (\ ref {5.27})

\[\overrightarrow{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{q}_{\mathrm{m}}}{4 \pi} \frac{\left(\mathrm{x} \hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{x}}+\mathrm{y} \hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{y}}+(\mathrm{z}-\mathrm{d} / 2) \hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{z}}\right)}{\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+(\mathrm{z}-\mathrm{d} / 2)^{2}\right)^{3 / 2}} - \frac{\mathrm{q}_{\mathrm{m}}}{4 \pi} \frac{\left(\mathrm{x} \hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{x}}+\mathrm{y} \hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{y}}+(\mathrm{z}+\mathrm{d} / 2) \hat{\mathrm{u}}_{\mathrm{z}}\right)}{\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+(\mathrm{z}+\mathrm{d} / 2)^{2}\right)^{3 / 2}}, \nonumber \]

o en el límite como d → 0 se puede escribir la expresión para el campo magnético

\[\vec{\text{H}}=\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\text{m}} \cdot \vec{\text{r}}) \vec{\text{r}}}{\text{r}^{5}}-\frac{\vec{\text{m}}}{\text{r}^{3}}\right) . \label{5.29}\]

Usando\(\vec{\text{B}}=\mu \vec{\text{H}}\) este es el mismo resultado que se establece en la Ecuación (1.2.13) del Chpt. (1) para el caso µ = µ ₀.

El problema de imagen de la interfaz plana para los monopolos magnéticos se muestra en la Figura (5.3.4). El campo H en la región de la izquierda de la interfaz donde la permeabilidad es µ ₁ es que debido a la carga magnética original q _m más que debido a una carga de imagen de fuerza\(-\text{q}_{\text{m}}\left(\mu_{2}-\mu_{1}\right) /\left(\mu_{2}+\mu_{1}\right)\) localizó el

Figura\(\PageIndex{4}\): Una carga puntual magnética ficticia, qm, ubicada fuera del límite plano entre dos materiales permeables. La permeabilidad a la izquierda del límite es µ ₁. La permeabilidad en el lado derecho del límite es µ ₂. La carga magnética se encuentra a una distancia d de la interfaz. Las otras dos cargas magnéticas, q _m ′ y q _m”, son cargas de imagen.

Figura\(\PageIndex{5}\): Problema de imagen para un dipolo magnético m0 localizado cerca del límite plano entre dos materiales permeables. El dipolo de imagen utilizado para calcular campos a la izquierda del límite es\(\text{m}_{0}^{\prime}=\text{m}_{0}\left(\frac{\mu_{2}-\mu_{1}}{\mu_{2}+\mu_{1}}\right)\). El dipolo de imagen utilizado para calcular campos a la derecha del límite del plano es\(\text{m}^{\prime \prime}=2 \text{m}_{0}\left(\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}+\mu_{1}}\right)\). (N.B. la fuerza del dipolo viene dada por m ₀ = q _m d donde d es la pequeña separación entre las cargas magnéticas más y menos, NO la distancia d entre el dipolo y la interfaz en z=0.)

misma distancia detrás de la interfaz que q _m se encuentra frente a la interfaz. El campo en el espacio derecho, permeabilidad µ ₂, es el campo debido a una carga magnética que se ubica en el mismo lugar que qm pero cuya intensidad es\(2 \text{q}_{\text{m}} \mu_{1} /\left(\mu_{2}+\mu_{1}\right)\). Es fácil demostrar que los campos en las dos regiones son tales que los componentes de H paralelos con la interfaz son continuos a través de la interfaz. También es fácil demostrar que los componentes normales de H en las dos regiones es tal que en la interfaz de\(\mu_{1}(\vec{\text{H}})_{n}=\mu_{2}(\vec{\text{H}})_{n}\) modo que el componente normal de\(\vec B\) es continuo a través de la interfaz. Observe que la carga de imagen es la negativa de q _m para el caso µ ₂ > µ ₁, pero que la carga de imagen tiene el mismo signo que qm cuando µ ₂ < µ ₁. El campo a la izquierda de la interfaz viene dado por

\[\vec{\text{H}}_{L}=\frac{\text{q}_{\text{m}}}{4 \pi}\left(\frac{\vec{\text{r}}_{1}}{\text{r}_{1}^{3}}\right)-\frac{\text{q}_{\text{m}}}{4 \pi}\left(\frac{\mu_{2}-\mu_{1}}{\mu_{2}+\mu_{1}}\right)\left(\frac{\vec{\text{r}}_{2}}{\text{r}_{2}^{3}}\right). \nonumber\]

El campo en el lado derecho de la interfaz viene dado por

\[\vec{\text{H}}_{R}=\frac{1}{4 \pi}\left(\frac{2 \text{q}_{\text{m}} \mu_{1}}{\mu_{2}+\mu_{1}}\right)\left(\frac{\vec{\text{r}}_{1}}{\text{r}_{1}^{3}}\right). \nonumber \]

Esta solución de carga puntual se puede extender mediante superposición para tratar el problema de un dipolo magnético cerca de una interfaz plana, Figura (5.3.5). El campo de la izquierda, en la región de permeabilidad µ ₁, se debe al dipolo más su imagen como se muestra en la figura. Los campos en la región de la izquierda debido al dipolo de la imagen se pueden utilizar para calcular la fuerza y el par en el dipolo real. La fuerza sobre un monopolo magnético viene dada por

\[\vec{\text{F}}=\text{q}_{\text{m}} \vec{\text{B}}, \label{5.30}\]

La fuerza sobre el dipolo magnético es solo la suma de las fuerzas que actúan sobre los dos monopolos que componen el dipolo: la fuerza dipolo es proporcional al gradiente de campo en la posición del dipolo. El par ejercido sobre un dipolo magnético viene dado por

\[\vec{\text{T}}=\vec{\text{m}} \times \vec{\text{B}}. \label{5.31}\]

Si µ ₂ > µ ₁ el dipolo magnético es atraído hacia la interfaz. Claramente este tratamiento puede generalizarse para discutir cualquier cuerpo permanentemente magnetizado ubicado cerca de una interfaz plana entre dos materiales magnéticos lineales: la solución se puede obtener como la superposición de los campos generados por los dipolos elementales de los que está compuesto el cuerpo.

Figura\(\PageIndex{6}\): El problema de imagen para el caso de una corriente de línea de I Amps que discurre paralela a la interfaz plana entre dos materiales permeables y ubicada a una distancia d de la interfaz.

5.3.4 Un Cable Paralelo con una Interfaz y que lleva una Corriente de I Amperios.

Otro problema que se puede resolver utilizando el método de imágenes es el de un cable delgado que transporta una corriente, y orientado paralelo con la interfaz plana entre dos regiones permeables diferentes como se muestra en la Figura (5.3.6). El campo en la región de la izquierda se atribuye a la corriente real I más una corriente de imagen I' ubicada a la misma distancia, d, a la derecha de la interfaz que la corriente real se ubica a la izquierda de la interfaz. Cualquier punto P en la interfaz es equidistante tanto de la corriente I como de su imagen, I'; que esa distancia sea R. Que la línea que une la posición de la corriente al punto P en la interfaz haga un ángulo\(\phi \) con la normal a la interfaz, como se muestra en la Figura (5.3.6). Las líneas de campo generadas por un cable portador de corriente recta larga forman cilindros concéntricos alrededor del alambre, y la intensidad del campo en el espacio libre viene dada por B _θ = µ ₀ I/2\(\pi\) R, donde R es la distancia del cable; ver Chpt. (4), Ecuación (4.3.3). Esto corresponde a un campo H _θ = I/2\(\pi\) R Amps/m. El componente del campo magnético\(\vec H\), paralelo a la interfaz que se genera por la corriente I y su imagen I' en la Figura (5.3.6) viene dada por

\[\left.\mathrm{H}_{1}\right|_{\text {parallel}}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{R}}\left(\mathrm{I} \cos \phi-\mathrm{I}^{\prime} \cos \phi\right). \label{5.32}\]

El componente de campo normal a la interfaz viene dado por

\[\left.\mathrm{H}_{1}\right|_{\text {normal}}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{R}}\left(\mathrm{I} \sin \phi+\mathrm{I}^{\prime} \sin \phi\right). \label{5.33}\]

Dejar que el campo en la región del espacio a la derecha de la interfaz sea generado por una corriente de imagen I” ubicada en la posición de la corriente real I. El componente de campo magnético paralelo con la interfaz generada por I” viene dado por

\[\left.\mathrm{H}_{2}\right|_{\text {parallel}}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{R}} \mathrm{I}^{"} \cos \phi, \label{5.34}\]

y su componente normal viene dado por

\[\left.\mathrm{H}_{2}\right|_{\text {normal}}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{R}} \mathrm{I}^{"} \sin \phi, \label{5.35}\]

El componente tangencial de H debe ser continuo a través de la interfaz, y por lo tanto de Ecuaciones (\ ref {5.32} y\ ref {5.34})

\[\mathrm{I}-\mathrm{I}^{\prime}=\mathrm{I}^{"} . \label{5.36}\]

El componente normal de\(\vec B\) debe ser continuo a través de la interfaz para que desde Ecuaciones (\ ref {5.33} y\ ref {5.35}) se encuentre

\[\mu_{1}\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}^{\prime}\right)=\mu_{2} \mathrm{I}^{\prime \prime} . \label{5.37}\]

Las ecuaciones lineales (\ ref {5.36} y\ ref {5.37}) se pueden resolver para obtener las intensidades de corriente de imagen requeridas. Los resultados son

\[\mathrm{I}^{\prime}=\left(\frac{\mu_{2}-\mu_{1}}{\mu_{2}+\mu_{1}}\right) \mathrm{I} , \label{5.38}\]

y

\[\mathrm{I}^{"}=\frac{2 \mathrm{I} \mu_{1}}{\left(\mu_{2}+\mu_{1}\right)} . \label{5.39}\]

El\(\vec H\) campo en el espacio a la izquierda de la interfaz es el generado por la I actual más la corriente de imagen I'. El\(\vec H\) campo a la derecha de la interfaz es el generado por la imagen actual I”.