7.4: Un Radiador Dipolo Eléctrico

Un átomo o una molécula en estado excitado puede desarrollar una densidad de momento dipolo eléctrico oscilante,\(\vec P\). Esta densidad dipolo oscila a una frecuencia que ~ es proporcional a la diferencia de energía entre el estado excitado y el estado base,\(\Delta \text{E}: \hbar \omega=\Delta \text{E}\). El momento dipolo oscilante genera un campo electromagnético que transporta la energía del estado excitado ∆E, y el átomo o molécula regresa al estado base. Una densidad de momento dipolo oscilante constituye una densidad de corriente. De la ecuación (7.2.3)

\[\vec{\text{J}}_{T}=\frac{\partial \vec{\text{P}}}{\partial \text{t}}=\vec{\text{P}}, \nonumber \]

si\(\vec{\text{J}}_{f}\) y\(\vec M\) son ambos cero como se supondrá aquí. También supongamos que la densidad del dipolo ~ tiene solo un componente z como se muestra en la Figura (7.4.3). Luego de

Figura\(\PageIndex{3}\): El sistema de coordenadas utilizado para describir los campos generados por un momento dipolo oscilante atómico o molecular eléctrico.

Ecuación (7.2.18) se puede escribir el potencial del vector

\[\text{A}(\vec{\text{R}}, t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{1}{\text{R}} \int \int \int_{V o l} \text{d} \tau \dot{\text{P}}_{\text{z}}(\vec{\text{r}}, t-\text{R} / \text{c}) , \nonumber \]

donde d\(\tau\) es el elemento de volumen y la integral se lleva a cabo sobre el volumen, Vol, del átomo o molécula. En la ecuación anterior se ha asumido que las dimensiones del átomo o molécula son tan pequeñas que todas las partes están a la misma distancia del observador: es decir,. como\(\vec r\) en (7.2.18) rangos sobre el volumen, Vol, los cambios en la distancia al observador pueden descuidarse tanto en el denominador como en el tiempo retardado. Esta es la aproximación del dipolo puntual. La integración de volumen con esta suposición simplemente da el momento total atómico o dipolo molecular\(\vec{\text{p}}_{\text{z}}\), y

\[\text{A}_{\text{z}}(\text{R}, \theta, \phi, t)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\dot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{R}} , \nonumber \]

donde\(\dot{\text{p}}_{\text{z}}\) es el momento dipolo total evaluado en el tiempo retardado t _R = t − R/c. Este potencial vectorial ahora se puede utilizar para calcular el campo magnético,\(\vec{\text{B}}=\operatorname{curl}(\vec{\text{A}})\). Para ello es conveniente utilizar coordenadas polares esféricas, ver Figura (7.4.3):

\[\text{A}_{\text{R}}(\text{R}, \theta, \text{t})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\dot{\text{p}}_{\text{z}}(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{\text{R}} \cos \theta , \label{7.29}\]

\ [\ comenzar {alineado}
&\ texto {A} _ {\ theta} (\ texto {R},\ theta,\ texto {t}) =-\ frac {\ mu_ {0}} {4\ pi}\ frac {\ punto {\ texto {p}} _ {\ texto {z}} (\ texto {t} -\ texto {R}/\ texto {c})} {\ texto {R}}\ sin\ theta,\\
&\ texto {A} _ {\ phi} (\ texto {R},\ theta,\ texto {t}) =0. \ nonumber
\ fin {alineado}\]

Observe que el potencial vectorial no depende del ángulo\(\phi\) para que el operador (\(\phi\)/) dé cero. De (\ ref {7.29}) uno encuentra

\[\text{B}_{\text{R}}=\text{B}_{\theta}=0 , \nonumber \]

y

\[\text{B}_{\phi}=\frac{1}{\text{R}}\left[\frac{\partial}{\partial \text{R}}\left(\text{R} \text{A}_{\theta}\right)-\frac{\partial \text{A}_{\text{R}}}{\partial \theta}\right] , \nonumber \]

o

\[\text{B}_{\phi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left[\frac{\ddot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{cR}}+\frac{\dot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{R}^{2}}\right] \sin \theta. \label{7.30}\]

(Recuerde que\(\partial \dot{\text{p}}_{z} / \partial \text{R}=-\ddot{\text{p}}_{z} / \text{c}\) debido a que el momento dipolar debe ser evaluado en el tiempo retardado, t _R = t−r/C). Los componentes del campo eléctrico se pueden calcular más fácilmente a partir de la ecuación maxwell\(\operatorname{curl}(\vec{\text{B}})=\left(1 / \text{c}^{2}\right) \partial \vec{\text{E}} / \partial \text{t}\) desde fuera del átomo o molécula\(\vec{\text{J}}_{T}=0\). Los componentes de\(\operatorname{curl}(\vec{\text{B}})\) son:

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{B}})_{\text{R}}=\frac{1}{\text{R} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \text{B}_{\phi}\right) , \nonumber\]

para que

\ [\ begin {array} {c}
\ nombreoperador {curl} (\ vec {\ text {B}}) _ {\ text {R}} =\ frac {\ mu_ {0}} {4\ pi}\ left [\ frac {\ ddot {\ texto {p}} _ {\ texto {z}}} {\ text {cR} ^ {2}} +\ frac {\ punto {\ texto {p}} _ {\ texto {z}}} {\ texto {R} ^ {3}}\ derecho]\ cos\ theta\
\ nombre del operador {curl} (\ vec {\ texto {B}}) _ {\ theta} =-\ frac {1} {\ texto {R}}\ frac {\ parcial} {\ parcial\ texto {R}}\ izquierda (\ texto {RB} _ {\ phi}\ derecha)\ nonumber
\ end {array}\]

para que

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{B}})_{\theta}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{\ddot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{c}^{2} \text{R}}+\frac{\ddot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{c} \text{R}^{2}}+\frac{\dot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{R}^{3}}\right) \sin \theta. \]

Por último,

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{B}})_{\phi}=0. \nonumber \]

Por lo tanto, los componentes del campo eléctrico están dados por

\[\text{E}_{\text{R}}=\frac{1}{2 \pi \epsilon_{0}}\left[\frac{\dot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{cR}^{2}}+\frac{\text{p}_{\text{z}}}{\text{R}^{3}}\right] \cos \theta, \label{7.31}\]

\[\text{E}_{\theta}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\left[\frac{\ddot{\text{p}}_{z}}{\text{c}^{2} \text{R}}+\frac{\dot{\text{p}}_{z}}{\text{cR}^{2}}+\frac{\text{p}_{z}}{\text{R}^{3}}\right] \sin \theta, \nonumber\]

\[\text{E}_{\phi}=0. \nonumber \]

Los derivados del campo eléctrico de se\(\operatorname{curl}(\vec{\text{B}})\) han integrado con respecto al tiempo, y se\(c^{2}=1 /\left(\mu_{0} \epsilon_{0}\right)\) ha utilizado para eliminar µ ₀.

Los campos generados por un dipolo puntual se agrupan de forma natural en dos grupos:

a) Los Campos Cercanos. Estos son los términos que se vuelven dominantes a medida que R, la distancia del dipolo al observador, se vuelve pequeña. Ellos son

\[\text{B}_{\phi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\dot{\text{p}}_{z}}{\text{R}^{2}} \sin \theta, \label{7.32}\]

\[\text{E}_{\text{R}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2 \text{p}_{\text{z}} \cos \theta}{\text{R}^{3}}, \nonumber\]

\[\text{E}_{\theta}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\text{p}_{z} \sin \theta}{\text{R}^{3}}. \nonumber \]

El campo magnético es justamente el generado por un elemento de corriente estática según la ley de Biot-Savart, ver Ecuación (4.2.2). Los componentes del campo eléctrico tienen la misma forma que los generados por un dipolo estático orientado a lo largo del eje z, véase la Ecuación (1.2.12). Por lo tanto, los efectos de retardo cerca del dipolo no son importantes como cabría esperar.

b) Los Campos Lejanos o los Campos de Radiación. Lejos del dipolo los términos dominantes tanto para los campos eléctricos como magnéticos son aquellos que se desprenden con la distancia como 1/R.

\[\text{B}_{\phi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\ddot{\text{p}}_{\text{z}}}{\text{cR}} \sin \theta, \label{7.33}\]

\ [\ begin {alineado}
\ texto {E} _ _ {\ texto {R}} &\ fila derecha 0\ quad\ nombreoperador {like}\ left (1/\ text {R} ^ {2}\ derecha)\
\ text {E} _ _ {\ theta} &=\ frac {\ mu_ {0}} {4\ pi}\ frac {\ ddot {\ text p}} _ _ {\ texto {z}}} {\ texto {R}}\ sin\ theta\\
&=\ frac {1} {4\ pi\ epsilon_ {0}}\ frac {\ ddot {\ texto {p}} _ {\ texto {z}}} {\ texto {c} ^ {2}\ texto {R}}\ sin\ theta
\ final {alineado}\]

En este límite E _θ = cB _\(\phi\), y los campos eléctrico y magnético son ortogonales. Además, tanto el campo eléctrico como el magnético son ortogonales a la línea que une al observador al dipolo. Se dice que estos campos de radiación son campos transversales. Obsérvese particularmente que el momento dipolar debe calcularse en el tiempo retardado, t _R = t − R/c, donde t es el tiempo de observación. Cualquier campo creado por el dipolo en un instante determinado requiere un tiempo de tránsito R/c para llegar al observador.