10.3: Aplicación de las condiciones de contorno a una interfaz de plano

Volviendo al problema de una onda incidente en una interfaz plana como se muestra en la Figura (10.1.1), se podría satisfacer la condición de límite\(vec E\) al elegir la amplitud de la onda transmitida al medio espacio derecho para que sea A= E ₀ para z=0, donde E ₀ es la amplitud del ola incidente. Esta elección, sin embargo, produciría una discontinuidad en H _y en el límite debido a que la relación de H _y /E _x es diferente en la región z ₀. Para hacer coincidir tanto E _x como H _y dentro y fuera del límite es necesario suponer que los dipolos oscilantes en el material a la derecha de z=0 dan lugar a una onda reflejada, de manera que para z<0, en el vacío en este ejemplo, se tiene

\[\text{E}_{\text{x}}=\text{E}_{0} \exp (i[\text{kz}-\omega \text{t}])+\text{E}_{\text{R}} \exp (-i[\text{kz}+\omega \text{t}]) , \label{10.26}\]

y, desde

\[ \text{H}_{\text{y}}=\frac{1}{i \omega \mu_{0}} \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}}, \nonumber \]

\[\text{H}_{\text{y}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{\mu_{0}}}\left(\text{E}_{0} \exp (i[\text{kz}-\omega \text{t}])-\text{E}_{\text{R}} \exp (-i[\text{kz}+\omega \text{t}])\right) , \label{10.27}\]

donde k = ω/c. en la Ecuación (\ ref {10.26}) E _R es la amplitud de la onda reflejada, aún indeterminada. Observe el cambio en el signo de la parte espacial del fasor de onda reflejada; este cambio de signo es requerido porque la onda reflejada debe propagarse hacia la izquierda, es decir, hacia z=−∞. La expresión para el campo magnético H _y se obtiene aplicando la ecuación de Maxwell (10.1.3) a la ecuación (\ ref {10.26}). De las ecuaciones (\ ref {10.26}) y (\ ref {10.27}) se obtiene en el lado de vacío de la interfaz en z=0

\ [\ begin {align}
\ text {E} _ {\ text {x}} (0) &=\ left (\ text {E} _ {0} +\ text {E} _ {\ text {R}}\ derecha)\ exp (-i\ omega\ texto {t})\ label {10.28}\\
\ text {H} _ _ {\ text {y}} (0) &=\ sqrt {\ frac {\ epsilon_ {0}} {\ mu_ {0}}}\ left (\ text {E} _ {0} -\ text {E} _ _ {\ text {R}}\ derecha)\ exp (-i\ omega\ texto {t}). \ nonumber
\ end {align}\]

En el lado material de la interfaz en z=0 uno tiene

\ [\ begin {align}
\ text {E} _ _ {\ text {x}} (0) &=\ text {A}\ exp (-i\ omega\ text {t})\ label {10.29}\
\ text {H} _ _ {\ text {y}} (0) &=\ sqrt {\ frac {\ epsilon_ {0}} {\ mu_ {0}} (\ texto {n} +i\ kappa)\ texto {A}\ exp (-i\ omega\ texto {t}). \ nonumber
\ end {align}\]

Aplicar las condiciones de contorno que E _x y H _y deben ser continuas a través del límite en z=0 para obtener

\[\text{E}_{0}+\text{E}_{\text{R}}=\text{A} \nonumber \]

y

\[\text{E}_{0}-\text{E}_{\text{R}}=(\text{n}+i \kappa) \text{A} . \nonumber \]

Estas dos ecuaciones se pueden resolver fácilmente:

\ [\ begin {align}
&\ text {T} =\ frac {\ text {A}} {\ text {E} _ {0}} =\ frac {2} {(1+\ text {n} +i\ kappa)},\ label {10.30}\\
&\ texto {R} =\ frac {\ texto {E} _ _ {\ texto {R}} {\ texto {\ texto {R}} E} _ {0}} =\ left (\ frac {1- (\ text {n} +i\ kappa)} {1+ (\ text {n} +i\ kappa)}\ right).
\ end {align}\]

Los parámetros ópticos n y κ se enumeran en la Tabla (10.3.1) para luz verde y para una serie de materiales comunes. Los metales son bastante opacos a frecuencias ópticas como se puede ver en la Tabla. Por ejemplo, a una longitud de onda de 0.5145 micras (una línea láser de iones Argón estándar) la amplitud del campo eléctrico óptico en cobre cae a 1/e de su valor inicial en una distancia\(\delta\) = λ/2\(\pi\) κ, o\(\delta\) = λ/16.3 = 31.5 × 10 ⁻⁹ metros. La atenuación de los campos en vidrio o en agua a frecuencias correspondientes a la luz visible es muy pequeña, ver Tabla (10.1). El coeficiente de atenuación, proporcional a κ, es extremadamente sensible a la presencia de pequeñas cantidades de impurezas. Se han desarrollado vidrios muy puros para su uso en fibras ópticas en las que la longitud sobre la que las amplitudes de campo han decaído en e ⁻¹ es superior a 1 km.

Es de interés calcular el coeficiente de absorción asociado a la interfaz plana de la Figura (10.1.1). Esta es la velocidad promediada en el tiempo a la que la energía fluye hacia la superficie dividida por la velocidad promediada en el tiempo a la que la onda incidente transporta energía hacia la superficie. Se puede calcular de dos maneras:

(1) Como la diferencia entre los vectores de Poynting promediados en el tiempo para el incidente y las ondas reflejadas divididas por la onda incidente del vector Poynting. Por la ola incidente

\[<\text{S}_{\text{z} 0}>=\frac{\text{E}_{0}^{2}}{2 \mu_{0} \text{c}}=\frac{\text{E}_{0}^{2}}{2 \text{Z}_{0}} . \nonumber \]

Para la onda reflejada

\[<\text{S}_{\text{zr}}>=\frac{\text{E}_{\text{R}}^{2}}{2 \text{Z}_{0}} . \nonumber \]

Tabla\(\PageIndex{1}\): Constantes ópticas para algunos materiales seleccionados a una longitud de onda de 0.5145 micrones (514.5 nm). Esta longitud de onda es una línea verde láser de iones de argón estándar. Corresponde a una frecuencia de f= 5.827 × 10 ¹⁴ Hz. Se ha asumido una dependencia del tiempo exp (−iωt). a) P.B. Johnson y R.W. Christy, Phys.Rev. B6, 4370 (1972). b) P.B. Johnson y R.W. Christy, Phys.Rev. B9, 5056 (1974).

En estas dos últimas ecuaciones\(\text{Z}_{0}=\sqrt{\mu_{0} / \epsilon_{0}}=377\) Ohmios es la impedancia del espacio libre. Por lo tanto, el coeficiente de absorción viene dado por

\[\alpha=\frac{\left(<\text{S}_{\text{z} 0}>-<\text{S}_{\text{zr}}>\right)}{<\text{S}_{\text{z} 0}>}=1-\left|\frac{\text{E}_{\text{R}}}{\text{E}_{0}}\right|^{2} , \nonumber \]

o, usando la ecuación (\ ref {10.30}) para el coeficiente de reflexión

\[\alpha=\frac{4 \text{n}}{(1+\text{n})^{2}+\kappa^{2}} , \label{10.31}\]

(2) De la relación entre el vector Poynting promediado en el tiempo justo dentro del material en z=0 y el vector Poynting de onda incidente.

\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{H}_{\text{y}}^{*} \text{E}_{\text{x}}\right) \nonumber \]

\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{\mu_{0}}}(\text{n}-i \kappa) \text{A}^{2}\right)=\frac{\text{n}\left|\text{A}^{2}\right|}{2 \text{Z}_{0}} . \nonumber \]

Pero a partir de la ecuación (\ ref {10.30})

\[\left|\text{A}^{2}\right|=\frac{4 \text{E}_{0}^{2}}{(1+\text{n})^{2}+\kappa^{2}} , \nonumber \]

y por lo tanto el coeficiente de absorción viene dado por la misma expresión que se obtuvo anteriormente

\[\alpha=\frac{<\text{S}_{\text{z}}>}{<\text{S}_{\text{z} 0}>}=\frac{4 \text{n}}{(1+\text{n})^{2}+\kappa^{2}} . \nonumber \]