10.4: Reflexión de un metal a frecuencias de radio

La respuesta de un metal está completamente dominada por su conductividad dc, σ ₀, para frecuencias menores a ∼ 10 ¹² Hz (1 THz). El tiempo de relajación para los portadores de carga en un buen metal a ~300K es del orden τ = 10 ⁻¹⁴ segundos. Eso significa que la conductividad de CC se puede usar significativamente para frecuencias de hasta aproximadamente 10 ¹² Hz. Para entender por qué la respuesta de los portadores de carga no ligados domina la respuesta de los electrones unidos a bajas frecuencias considere la ecuación de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\text{H})=\vec{\text{J}}_{f}+\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}} , \nonumber \]

o en el límite de baja frecuencia

\[\operatorname{curl}(\text{H})=\sigma_{0} \vec{\text{E}}+\epsilon \frac{\partial \vec{\text{E}}}{\partial \text{t}} . \nonumber \]

El término\(\sigma_{0} \vec{\text{E}}\) en la ecuación anterior toma en cuenta la respuesta de los electrones no unidos: el último término toma en cuenta los electrones unidos. La respuesta de los electrones unidos a bajas frecuencias es de orden\(\epsilon_{0} \omega\), por lo tanto se pueden comparar estos dos términos comparando σ ₀ con\(\omega \epsilon_{0}\). Para cobre a temperatura ambiente σ ₀ = 6.45 × 10 ⁷ /Ohm-M. A 10 ¹² Hz\(\omega \epsilon_{0}=\left(2 \pi \times 10^{12}\right) / 36 \pi \times 10^{9}=55.6 / \text{Ohm}-\text{m}\). Es claro que para frecuencias de hasta 10 ¹² Hz la contribución de los electrones unidos en el cobre es completamente despreciable en comparación con la contribución de las cargas no unidas. En este límite de baja frecuencia, y para un campo eléctrico polarizado a lo largo de x y propagándose a lo largo de z, se pueden escribir las ecuaciones de Maxwell

\ [\ begin {align}
\ frac {\ parcial\ texto {E} _ _ {\ texto {x}}} {\ parcial\ texto {z}} =i\ omega\ mu_ {0}\ texto {H} _ _ {\ texto {y}}\ etiqueta {10.32}\
\ frac {\ parcial\ texto {H} _ _ {\ texto {y}}} {\ parcial\ texto {z}} =-\ sigma_ {0}\ texto {E} _ _ {\ texto {x}}. \ nonumber
\ end {align}\]

Estos se desprenden de las relaciones

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}}, \nonumber \]

y

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\sigma_{0} \vec{\text{E}}. \nonumber \]

De la ecuación (\ ref {10.32}) se obtiene

\[\frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}^{2}}=-i \omega \sigma_{0} \mu_{0} \text{E}_{\text{x}} . \label{10.33}\]

Para una solución de onda plana de la forma

\[\text{E}_{\text{x}}=\text{A} \exp (i[\text{kz}-\omega \text{t}]) \nonumber \]

La ecuación (\ ref {10.33}) requiere que

\[\text{k}^{2}=i \omega \sigma_{0} \mu_{0}, \nonumber \]

o

\[\text{k}=\sqrt{\frac{\omega \sigma_{0} \mu_{0}}{2}}(1+i) , \label{10.34}\]

y de Ecuación (\ ref {10.32})

\[\frac{E_{x}}{H_{y}}=\frac{\omega \mu_{0}}{k}=\sqrt{\frac{\omega \mu_{0}}{2 \sigma_{0}}}(1-i). \label{10.35}\]

La onda en el metal está claramente muy amortiguada debido a que la distancia sobre la cual la amplitud del campo eléctrico decae a 1/e de su valor inicial es aproximadamente igual a la longitud de onda. Esta distancia de decaimiento a 1 GHz para el cobre a temperatura ambiente es\(\sqrt{2 / \omega \sigma_{0} \mu_{0}}=\delta=1.98 \times 10^{-6}\). ¡La radiación a 1 GHz no penetra muy lejos en el cobre!

La impedancia de onda del cobre a 1 GHz y a temperatura ambiente viene dada por

\[\text{Z}=\frac{\text{E}_{\text{x}}}{\text{H}_{\text{y}}}=\left(7.82 \times 10^{-3}\right)(1-i) \quad \text { Ohms } , \nonumber\]

en comparación con Z ₀ = 377 Ohmios para el espacio libre. Esto significa que la amplitud del campo eléctrico en el metal es muy pequeña en comparación con la amplitud del campo eléctrico de la onda incidente. En la interfaz entre el vacío y el metal se deben construir amplitudes de campo eléctrico y magnético de modo que los componentes tangenciales de\(\vec E\) y\(\vec H\) sean continuos a través de la superficie: el componente normal de\(vec B\) es automáticamente continuo a través de la superficie porque la onda cae sobre el metal a incidencia normal. Estas condiciones de límite dan

\ [\ begin {alineado}
&\ texto {E} _ {0} +\ texto {E} _ {\ texto {R}} =\ texto {A}\\
&\ frac {1} {Z_ {0}}\ izquierda (E_ {0} -E_ {R}\ derecha) =\ frac {A} {Z},
\ end {alineado}\]

o

\[\text{E}_{0}-\text{E}_{\text{R}}=\frac{\text{Z}_{0} \text{A}}{\text{Z}}. \nonumber \]

La amplitud de onda resultante en la superficie metálica, z=0, es

\[\text{A}=\frac{2 \text{ZE}_{0}}{\text{Z}+\text{Z}_{0}} \cong \frac{2 \text{Z}}{\text{Z}_{0}} \text{E}_{0} . \label{10.36}\]

La amplitud de la onda reflejada viene dada por

\[\text{E}_{\text{R}}=\left(\frac{\text{Z}-\text{Z}_{0}}{\text{Z}+\text{Z}_{0}}\right) \text{E}_{0} , \nonumber \]

o

\[\frac{\text{E}_{\text{R}}}{\text{E}_{0}} \cong-1+\frac{2 \text{Z}}{\text{Z}_{0}}, \nonumber\]

porque (Z/Z ₀) 1.

Observe que para nuestro ejemplo de cobre a temperatura ambiente, y para una frecuencia de 1GHz, la magnitud de la amplitud del campo eléctrico reflejado es la misma que la amplitud del campo eléctrico incidente dentro de ∼ 10 ⁻⁴, pero el campo eléctrico reflejado es 180 ^◦ desfasado con el campo eléctrico incidente para que los dos campos cancelen en la superficie metálica. El campo eléctrico en el metal es muy pequeño; aproximadamente A= E ₀ /25000. Por otro lado, la amplitud del campo magnético en la superficie metálica es casi el doble de la amplitud del campo magnético en la onda incidente. En el metal en z=0

\[\text{H}_{\text{y}}=\frac{\text{A}}{\text{Z}}=\frac{2 \text{E}_{0}}{\text{Z}+\text{Z}_{0}} \cong 2 \frac{\text{E}_{0}}{\text{Z}_{0}} , \nonumber \]

mientras que la amplitud del campo magnético en la onda incidente viene dada por E ₀ /Z ₀.

Se puede hablar de un metal perfectamente conductor, uno para el cual la conductividad se acerca al infinito. Para un metal tan perfectamente conductor, el campo eléctrico se desintegra en profundidad cero: se configura una lámina de corriente superficial que protege perfectamente el metal del campo eléctrico en la onda incidente. La magnitud de la lámina actual se puede obtener aplicando el teorema de Stokes a la relación\(\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\vec{\text{J}}_{f}\) integrada sobre un pequeño bucle que abarca la superficie metálica como se muestra en la Figura (10.4.5). Uno tiene

\[\int int_{\text {Area}} \operatorname{curl}(\vec{\text{H}}) \cdot \vec{\text{d} \text{S}}=\int \int_{\text {Area}} \vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{d} \text{S}}, \nonumber \]

donde Area=\(\delta\) L. Pero a partir del teorema de Stokes

\[\oint_{C} \vec{\text{H}} \cdot \vec{\text{d} \text{L}}=\int \int_{A r e a} \vec{\text{J}}_{f} \cdot \vec{\text{dS}}=\text{J}_{\text{s}} \text{L} , \label{10.37}\]

Figura\(\PageIndex{5}\): Diagrama para ayudar en el cálculo de la densidad de corriente superficial que protege el interior de un metal perfectamente conductor de campos eléctricos y magnéticos incidentes.

donde J _s es la densidad de corriente superficial en Amps/m, y L es la longitud del bucle. Dentro del metal H _y = 0 así que de (10.37) se obtiene

\[\text{J}_{\text{s}}=\text{H}_{\text{y}}(0), \label{10.38}\]

donde H _y (0) es la amplitud del campo magnético en la interfaz vacío/metal, y H _y (0) = 2E ₀ /Z ₀.

Para un metal perfecto la impedancia de onda se aproxima a cero, Z = E _x /H _y y Z → 0, de manera que en este límite el campo eléctrico tiene un nodo en la superficie metálica. Para un metal perfecto, la condición límite en el campo eléctrico en la interfaz se convierte en

\[\text{E}_{\text{t}}=0, \nonumber \]

donde Et es el componente tangencial del campo eléctrico.

Es sencillo calcular el coeficiente de absorción para una superficie metálica a partir de la Ecuación (\ ref {10.35}) y a partir de la Ecuación de amplitud A (\ ref {10.36}):

\[\alpha=\frac{<\text{S}_{\text{z}}(\text {metal at } z=0)>}{\text{S}_{\text{z}}(\text {incident})}=\frac{4 \text{c}}{\omega \text{Z}_{0}^{2}}|\text{Z}|^{2} \sqrt{\frac{\omega \sigma_{0} \mu_{0}}{2}} , \nonumber \]

o

\[\alpha=\frac{2 \omega}{\text{c}} \sqrt{\frac{2}{\sigma_{0} \omega \mu_{0}}}=\frac{2 \omega \delta}{\text{c}} ,\label{10.39}\]

Figura\(\PageIndex{6}\): Onda plana S-polarizada incidente en el ángulo θ en la interfaz plana entre el vacío y un medio isotrópico caracterizada por parámetros materiales\(\epsilon_{\text{r}}\) y µ ₀. El vector eléctrico en la onda incidente es perpendicular al plano de incidencia.

donde\(\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega \sigma_{0} \mu_{0}}}\) es la longitud característica para la atenuación de los campos en el metal.