10.5: Incidencia oblicua

Cuando una onda plana cae sobre la interfaz plana entre dos medios, los vectores de onda incidente y reflejado definen el plano de incidencia, ver las Figuras (10.4.6) y (10.5.7). La dirección del vector de campo eléctrico en la onda incidente puede formar un ángulo arbitrario con el plano de incidencia. El caso general puede tratarse como la suma de dos casos especiales: un vector eléctrico perpendicular al plano de incidencia (llamado luz S-polarizada de la palabra alemana para perpendicular,” senkrecht”), y un vector eléctrico que se encuentra en el plano de incidencia (luz polarizada p).

Figura\(\PageIndex{7}\): Una onda plana polarizada P incidente en el ángulo θ en la interfaz plana entre vacío y un medio isotrópico caracterizada por parámetros materiales\(\epsilon_{\text{r}}\) y µ ₀. El vector eléctrico en la onda incidente es paralelo al plano de incidencia.

10.5.1 Ondas S-polarizadas.

Considere las primeras ondas polarizadas S, Figura (10.4.6). El vector eléctrico de onda incidente se puede describir mediante la ecuación

\[\text{E}_{\text{y}}=\text{E}_{0} \exp (i[\text{x}(\text{k} \sin \theta)+\text{z}(\text{k} \cos \theta)-\omega \text{t}]), \label{10.40}\]

donde k = ω/c porque esta onda es incidente en la interfaz desde el vacío. Eventualmente uno va a tener que asegurar que los componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético sean continuos a través de la interfaz, y estas condiciones límite deben mantenerse en cualquier momento en particular en todos los puntos de la interfaz. Este requisito significa que todas las ondas en este problema, tanto dentro del material como en el lado vacío de la interfaz, deben tener la misma dependencia espacial de las coordenadas que se encuentran en el plano de la interfaz. Para el presente ejemplo, Figura (10.6), la onda incidente varía con la coordenada en el plano como

\[\exp (i \text{xk} \sin \theta)=\exp (i \text{x} \omega \sin \theta / \text{c}), \nonumber\]

por lo tanto este mismo factor debe aparecer tanto en la onda reflejada como en la onda transmitida que se genera en la región z>0. Dado que el vector de onda reflejada tiene la misma magnitud que el vector de onda incidente, k = ω/c según lo determinado por las ecuaciones de Maxwell, y dado que su componente x del evector de ondas debe ser el mismo que para la onda incidente, se deduce que el ángulo de reflexión debe ser el mismo que el ángulo de incidencia como se muestra en la Figura (10.4.6). El vector eléctrico de la onda reflejada viene dado por

\[\text{E}_{\text{y}}=\text{E}_{\text{R}} \exp (i[\text{xk} \sin \theta-\text{zk} \cos \theta-\omega \text{t}]) . \label{10.41}\]

(Obsérvese el cambio en el signo del componente z de k). El vector de campo magnético en la onda incidente debe ser perpendicular tanto al vector de campo eléctrico como al vector de onda:

\ [\ begin {align}
\ text {H} _ _ {\ text {x}} ^ {(\ text {i})} =-\ texto {H} _ _ {0}\ cos\ theta\ exp (i [\ texto {xk}\ sin\ theta+\ texto {zk}\ cos\ theta-\ omega\ texto {t}])\ etiqueta {10.42}\
\ texto {H} _ {\ texto {z}} ^ {(\ texto {i})} =\ texto {H} _ _ {0}\ sin\ theta\ exp (i [\ texto {x},\ texto {k}\ sin\ theta+\ texto {zk}\ cos\ theta-\ omega\ text {t}])\ nonumber
\ end {align}\]

donde H ₀ = E ₀ /Z ₀, y\(\text{Z}_{0}=\text{c} \mu_{0}=\sqrt{\mu_{0} / \epsilon_{0}}=377 \text { Ohms. }\) El vector de campo magnético en la onda reflejada debe ser ortogonal simultáneamente al vector eléctrico de onda reflejada y también al vector de onda:

\ [\ begin {align}
\ text {H} _ {\ text {x}} ^ {(\ text {R})} &=\ texto {H} _ _ {\ texto {R}}\ cos\ theta\ exp (i [\ texto {xk}\ sin\ theta-\ texto {zk}\ cos\ theta-\ omega t])\ etiqueta {10.43}\
\ texto {H} _ {z} ^ {(\ text {R})} &=\ texto {H} _ _ {\ texto {R}}\ sin\ theta\ exp (i [\ texto {xk}\ sin\ theta-\ texto {zk}\ cos\ theta-\ omega\ text {t}])\ nonumber
\ end {align}\]

donde H _R = E _R /Z ₀. Eqns. (\ ref {10.42} y\ ref {10.43}) satisfacen las ecuaciones de Maxwell para el vacío.

El campo eléctrico en la onda transmitida se polarizará a lo largo de y porque se supone que el material en la región z≥0 es lineal e isotrópico de manera que un campo eléctrico incidente dirigido y generará un campo eléctrico transmitido dirigido por y:

\[\text{E}_{\text{y}}=\text{A} \exp (i[\text{xk} \sin \theta]) \exp \left(i\left[\text{zk}_{\text{z}}-\omega \text{t}\right]\right) . \label{10.44}\]

La ecuación de Maxwell\(\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=-\frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}}=i \omega \mu_{0} \vec{\text{H}}\) se convierte

\ [\ begin {align}
&\ frac {\ parcial\ texto {E} _ _ {\ texto {y}}} {\ parcial\ texto {z}} =-i\ omega\ mu_ {0}\ texto {H} _ _ {\ texto {x}},\ etiqueta {10.45}\
&\ frac {\ parcial\ texto {E} _ _ {\ texto {y}} {\ parcial\ texto {x}} =i\ omega\ mu_ {0}\ texto {H} _ {\ texto {z}}. \ nonumber
\ end {align}\]

La ecuación de Maxwell\(\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}=-i \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \omega \vec{\text{E}}\) se convierte

\[\frac{\partial \text{H}_{\text{x}}}{\partial \text{z}}-\frac{\partial \text{H}_{\text{z}}}{\partial \text{x}}=-i \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \text{E}_{\text{y}} .\label{10.46}\]

Combinar ecuaciones (\ ref {10.45}) y (\ ref {10.46}) para obtener

\[\frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{y}}}{\partial \text{z}^{2}}+\frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{y}}}{\partial \text{x}^{2}}=-\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \epsilon_{\text{r}} \text{E}_{\text{y}}. \label{10.47}\]

Esta ecuación requiere que

\[\text{k}_{\text{z}}^{2}+\text{k}^{2} \sin ^{2} \theta=\epsilon_{\text{r}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} , \nonumber \]

o, ya que k = ω/c,

\[\text{k}_{\text{z}}^{2}=\left[\epsilon_{\text{r}}-\sin ^{2} \theta\right]\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2}. \nonumber \]

Por lo tanto, el componente z del vector de onda transmitido debe calcularse a partir de

\[\text{k}_{\text{z}}=\sqrt{\left[\epsilon_{\text{r}}-\sin ^{2} \theta\right]}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) , \label{10.48}\]

donde la parte imaginaria de k _z debe elegirse para que sea positiva para que la onda (\ ref {10.44}) sea amortiguada a medida que la onda viaja a lo largo de la dirección z. El componente de onda vector k _z será en general un número complejo correspondiente al hecho de que la constante dieléctrica relativa,\(\epsilon_{\text{r}}=\epsilon_{\text{R}}+i \epsilon_{\text{I}}\), es un número complejo: aquí\(\epsilon_{\text{R}}\) y\(\epsilon_{\text{I}}\) yo somos ambos números reales. Se puede definir un índice complejo de refracción para el caso de incidencia oblicua mediante el establecimiento

\[\text{k}_{\text{z}}=\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) . \label{10.49}\]

los parámetros n _θ y\(\kappa_{\theta}\) son funciones explícitas del ángulo de incidencia. El campo eléctrico transmitido al material a la derecha de z=0 será dado por

\[\text{E}_{\text{y}}=\text{A} \exp (i[\text{xk} \sin \theta]) \exp \left(-\kappa_{\theta} \omega \text{z} / \text{c}\right) \exp \left(i\left[\frac{\text{n}_{\theta} \omega \text{z}}{\text{c}}-\omega \text{t}\right]\right) , \label{10.50}\]

y de Ecuaciones (\ ref {10.45}) los componentes del campo magnético vienen dados por

\ [\ begin {align}
\ text {H} _ {\ text {x}} =&-\ frac {\ left (\ text {n} _ {\ theta} +i\ kappa_ {\ theta}\ derecha)} {\ text {Z} _ _ {0}}. \ label {10.51}\\
&\ cdot\ texto {A}\ exp (i [\ texto {xk}\ sin\ theta])\ exp\ izquierda (-\ kappa_ {\ theta}\ omega\ texto {z}/\ texto {c}\ derecha)\ exp\ izquierda (i\ izquierda [\ frac {\ texto {n} _ _ {\ theta}\ omega\ texto {z}} {\ texto {c}} -\ omega\ texto {t}\ derecho]\ derecho),\ nonúmero\
\ texto {H} _ _ {\ texto {z}} =&\ frac {\ sin\ theta} {\ texto {Z} _ {0}}\ texto {A}\ exp (i [\ texto {xk}\ sin\ theta])\ exp\ izquierda (-\ kappa_ {\ theta}\ omega\ texto {z}/\ texto {c}\ derecha)\ exp\ izquierda (i\ izquierda [\ frac {\ texto {n} _ {\ theta}\ omega\ texto {z}} {\ texto {c}} -\ omega\ texto {t}\ derecha]\ derecha),\ nonumber
\ end {align}\]

donde\(\text{Z}_{0}=\text{c} \mu_{0}=377 \text { Ohms. }\) Los planos de amplitud constante son paralelos a la interfaz plana. Los planos de fase constante se inclinan formando un ángulo\(\phi\) con respecto al plano de la interfaz. El vector de onda en el material, que es perpendicular a los planos de fase constante, tiene componentes que vienen dados por

\[\text{k}_{\text{x}}=\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) \sin \theta, \nonumber \]

y

\[\operatorname{Real}\left(\text{k}_{z}\right)=\text{n}_{\theta}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right), \nonumber \]

por lo tanto, el ángulo de inclinación\(\phi\) ilustrado en la Figura (10.4.6) se puede calcular a partir de

\[\tan \phi=\frac{\sin \theta}{n_{\theta}}. \label{10.52}\]

En los casos para los que la constante dieléctrica se puede tomar como real, es decir, pérdidas insignificantes, se tiene

\[\text{k}_{\text{m}}=\sqrt{\left[\text{k}^{2} \sin ^{2} \theta+\text{k}_{\text{z}}^{2}\right]}=\sqrt{\epsilon_{\text{r}}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right) . \nonumber\]

Entonces

\[\sin \phi=\frac{\text{k} \sin \theta}{\sqrt{\epsilon_{\text{r}}}(\omega / \text{c})}=\frac{\sin \theta}{\sqrt{\epsilon \text{r}}} . \nonumber \]

Esta es solo la ley de Snell:

\[\sin \theta=\sqrt{\epsilon_{r}} \sin \phi . \label{10.53}\]

Para este caso se puede definir un índice real de refracción para el medio\(\text{n}= \sqrt{\epsilon_{\text{r}}}\), y la velocidad de fase de la onda en el medio es c/n; la onda refractada se propaga en la dirección especificada por el ángulo\(\phi\) obtenido de la ley de Snell. En el caso más general de un medio con pérdidas el ángulo entre las superficies de fase constante y la superficie límite debe calcularse a partir de la Ecuación (\ ref {10.52}).

En z=0 los componentes tangenciales de\(\vec E\) y\(\vec H\) deben ser continuos a través de la interfaz y esta condición determina las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas. Uno encuentra

\[\text{E}_{0}+\text{E}_{\text{R}}=\text{A} , \label{10.54}\]

y

\[-\text{H}_{0} \cos \theta+\text{H}_{\text{R}} \cos \theta=-\frac{\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)}{\text{Z}_{0}} \text{A} , \nonumber \]

o, ya que H ₀ = E ₀ /Z ₀ y H _R = E _R /Z ₀

\[-\text{E}_{0}+\text{E}_{\text{R}}=-\frac{\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)}{\cos \theta} \text{A}. \label{10.55}\]

Los parámetros n _θ y\(\kappa_{\theta}\) están definidos por las ecuaciones (\ ref {10.48}) y (\ ref {10.49}). Las dos ecuaciones, (\ ref {10.54}) y (\ ref {10.55}), se pueden resolver para las amplitudes E _R y A en términos de la amplitud de onda incidente E ₀.

\ [\ begin {align}
\ frac {\ text {A}} {\ text {E} _ {0}} &=\ frac {2\ cos\ theta} {\ left [\ cos\ theta+\ left (\ text {n} _ _ {\ theta} +i\ kappa_ {\ theta}\ theta}\ derecha)\ derecha]},\ etiqueta {10.56}\\ frac {
\ texto {\ theta} ac {\ texto {E} _ {\ texto {R}}} {\ texto {E} _ {0}} &=\ left (\ frac {\ cos\ theta-\ left (\ text {n} _ {\ theta} +i\ kappa_ {\ theta}\ derecha )} {\ cos\ theta+\ left (\ text {n} _ _ {\ theta} +i\ kappa_ {\ theta}\ derecha)}\ derecha),\ nonumber
\ end {align}\]

donde, se recordará,

\[\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)=\sqrt{\epsilon_{\text{r}}-\sin ^{2} \theta}, \nonumber\]

y el signo debe elegirse para que\(\kappa_{\theta}>0\).

10.5.2 Ondas P-polarizadas.

Los argumentos para la luz polarizada P son similares a los de la luz polarizada S. Sin embargo, para la radiación P-polarizada el campo magnético se polariza perpendicular al plano de incidencia, Figura (10.5.7). La ola incidente se puede escribir

\[\text{H}_{\text{y}}^{\text{inc}}=\text{H}_{0} \exp (i[\text{xk} \sin \theta+\text{zk} \cos \theta-\omega \text{t}]), \label{10.57}\]

\[\text{E}_{\text{x}}^{\text{inc}}=\text{Z}_{0} \text{H}_{0} \cos \theta \exp (i[\text{xk} \sin \theta+\text{zk} \cos \theta-\omega \text{t}]),\nonumber\]

\[\text{E}_{\text{z}}^{\text{R}}=-\text{Z}_{0} \text{H}_{\text{R}} \sin \theta \exp (i[\text{xk} \sin \theta-\text{zk} \cos \theta-\omega \text{t}]),\nonumber\]

y para la onda reflejada:

\[\text{H}_{y}^{\text{R}}=\text{H}_{\text{R}} \exp (i[\text{xk} \sin \theta-\text{zk} \cos \theta-\omega \text{t}]), \label{10.58}\]

\[\text{E}_{\text{x}}^{\text{R}}=-\text{Z}_{0} \text{H}_{\text{R}} \cos \theta \exp (i[\text{xk} \sin \theta-\text{zk} \cos \theta-\omega \text{t}]),\nonumber\]

\[\text{E}_{\text{z}}^{\text{R}}=-\text{Z}_{0} \text{H}_{\text{R}} \sin \theta \exp (i[\text{xk} \sin \theta-\text{zk} \cos \theta-\omega \text{t}]).\nonumber\]

Dentro del material, z≥0, que se supone que se caracteriza por una constante dieléctrica relativa compleja\(\epsilon_{r}\), se encuentra de

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=-i \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \vec{\text{E}},\nonumber\]

\[\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{z}}=i \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \text{E}_{\text{x}}, \label{10.59}\]

\[\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{x}}=-i \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \text{E}_{\text{z}},\nonumber\]

y de

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}}=i \omega \mu_{0} \vec{\text{H}},\nonumber\]

\[\frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}}-\frac{\partial \text{E}_{\text{z}}}{\partial \text{x}}=i \omega \mu_{0} \text{H}_{\text{y}}. \label{10.60}\]

Las ecuaciones (\ ref {10.59}) y (\ ref {10.60}) se pueden combinar para dar

\[\frac{\partial^{2} \text{H}_{y}}{\partial \text{x}^{2}}+\frac{\partial^{2} \text{H}_{y}}{\partial \text{z}^{2}}=-\epsilon_{\text{r}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{H}_{\text{y}}. \label{10.61}\]

La solución de la Ecuación (\ ref {10.61}) se puede escribir

\[\text{H}_{y}=\text{H}_{\text{T}} \exp \left(i\left[\text{xk} \sin \theta+\text{zk}_{\text{z}}-\omega \text{t}\right]\right), \label{10.62}\]

donde

\[\text{k}^{2} \sin ^{2} \theta+\text{k}_{\text{z}}^{2}=\epsilon_{\text{r}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2}. \label{10.63}\]

En estas Ecuaciones\(\mathbf{k}=(\omega / \mathbf{c})\). La ecuación (\ ref {10.63}) para\(k_{z}\) es la misma que la que se obtuvo para el caso de una onda polarizada S incidente. Resolviendo para\(k_{z}\) uno obtiene:

\[\text{k}_{z}=\sqrt{\left[\epsilon_{r}-\sin ^{2} \theta\right]}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right),\nonumber\]

o

\[\text{k}_{\text{z}}=\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right),\nonumber\]

donde

\[\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}=\sqrt{\left[\epsilon_{\text{r}}-\sin ^{2} \theta\right]},\nonumber\]

y el signo de la raíz cuadrada debe elegirse para hacer que la parte imaginaria sea\(k_{z}\) positiva para describir una perturbación óptica que se atenúa a medida que z aumenta.

De la forma del campo magnético, Ecuación (\ ref {10.62}), y de las Ecuaciones Maxwell (\ ref {10.59}), se deduce que

\[\text{E}_{\text{x}}=\frac{\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)}{\epsilon_{\text{r}}} \text{Z}_{0} \text{H}_{\text{T}} \exp (i \text{xk} \sin \theta) \exp \left(-\kappa_{\theta} \omega \text{z} / \text{c}\right) \exp \left(i\left[\frac{\text{n}_{\theta} \omega \text{z}}{\text{c}}-\omega \text{t}\right]\right), \label{10.64}\]

\[\text{E}_{z}=-\frac{\sin \theta}{\epsilon_{\text{r}}} \text{Z}_{0} \text{H}_{\text{T}} \exp (i \text{xk} \sin \theta) \exp \left(-\kappa_{\theta} \omega \text{z} / \text{c}\right) \exp \left(i\left[\frac{\text{n}_{\theta} \omega \text{z}}{\text{c}}-\omega \text{t}\right]\right).\nonumber\]

Y a partir de las condiciones de contorno en z=0 (continuidad de los componentes tangenciales de\(\vec E\) y\(\vec H\)) se encuentra:

\[\text{H}_{0}+\text{H}_{\text{R}}=\text{H}_{\text{T}}, \nonumber\]

\[\text{Z}_{0} \text{H}_{0} \cos \theta-\text{Z}_{0} \text{H}_{\text{R}} \cos \theta=\frac{\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)}{\epsilon_{\text{r}}} \text{Z}_{0} \text{H}_{\text{T}},\nonumber\]

o

\[\text{H}_{0}-\text{H}_{\text{R}}=\frac{\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)}{\epsilon_{\text{r}} \cos \theta} \text{H}_{\text{T}}.\nonumber\]

Estas dos ecuaciones se pueden resolver para obtener

\[\frac{\text{H}_{\text{T}}}{\text{H}_{0}}=\frac{2 \epsilon_{\text{r}} \cos \theta}{\left(\epsilon_{\text{r}} \cos \theta+\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)\right)}, \label{10.65}\]

\[\frac{\text{H}_{\text{R}}}{\text{H}_{0}}=\left(\frac{\epsilon_{\text{r}} \cos \theta-\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)}{\epsilon_{\text{r}} \cos \theta+\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)}\right),\nonumber\]

dónde\(\left(\text{n}_{\theta}+i \kappa_{\theta}\right)=\sqrt{\left[\epsilon_{\text{r}}-\sin ^{2} \theta\right]}\) y\(\kappa_{\theta}>0.\)

Observe eso\(\operatorname{div}(\vec{\text{D}})=0\) para las ondas polarizadas S y P. Esto es obvio para la luz S-polarizada porque el campo eléctrico tiene solamente un componente y y este componente no depende de la coordenada y, Ecuación (\ ref {10.50}). Para radiación polarizada P, de Ecuaciones (\ ref {10.64}),

\[\frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{x}}+\frac{\partial \text{E}_{\text{z}}}{\partial \text{z}}=0,\nonumber\]

así que\(\operatorname{div}(\vec{\text{E}})=0\) y, desde\(\vec{\text{D}}=\epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \vec{\text{E}}\), así también\(\operatorname{div}(\vec{\text{D}})=0\). No hay cargos libres establecidos en el material para la radiación polarizada S o P. La condición también se\(\operatorname{div}(\vec{\text{D}})=0\) puede deducir directamente de la ecuación de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}=-i \omega \vec{\text{D}},\nonumber\]

porque la divergencia de cualquier rizo es cero. Es fácil demostrar por cálculo directo que el componente normal del campo magnético\(\vec B\) es continuo a través de la superficie del material dieléctrico para radiación polarizada S y P.

10.5.3 Incidencia Oblicua en un Material Sin Pérdidas.

Para un material en el que las pérdidas son muy pequeñas para que se pueda descuidar la parte imaginaria de la constante dieléctrica, se puede definir un índice real de refracción mediante

\[\text{n}=\sqrt{\epsilon_{\text{r}}}.\nonumber\]

Para la radiación S-polarizada los coeficientes de reflexión y transmisión, Ecuaciones (\ ref {10.56}), se convierten

\[\text{R}_{\text{S}}=\frac{\text{E}_{\text{R}}}{\text{E}_{0}}=\left(\frac{\cos \theta-\text{n} \cos \phi}{\cos \theta+\text{n} \cos \phi}\right), \label{10.66}\]

\[\text{T}_{\text{S}}=\frac{\text{E}_{\text{T}}}{\text{E}_{0}}=\left(\frac{2 \cos \theta}{\cos \theta+\text{n} \cos \phi}\right),\nonumber\]

donde\(\sin \phi=\sin \theta / \text{n}\).

Para la radiación polarizada P, y\(\mathbf{n}=\sqrt{\epsilon_{\mathbf{r}}}\) un número real, los coeficientes de reflexión y transmisión (\ ref {10.65}) se convierten

\[\text{R}_{\text{P}}=\frac{\text{H}_{\text{R}}}{\text{H}_{0}}=\left(\frac{\text{n} \cos \theta-\cos \phi}{\text{n} \cos \theta+\cos \phi}\right), \label{10.67}\]

\[\text{T}_{\text{P}}=\frac{\text{H}_{\text{T}}}{\text{H}_{0}}=\left(\frac{2 \text{n} \cos \theta}{\text{n} \cos \theta+\cos \phi}\right), \nonumber \]

donde, como anteriormente, sin\(\phi\) = sin θ/n y\(\text{n}=\sqrt{\epsilon_{\text{r}}}\). La relación

\[\text{n}_{\theta}=\sqrt{\text{n}^{2}-\sin ^{2} \theta}=\text{n} \cos \phi \nonumber\]

también se ha utilizado.