11.4: Líneas de Transmisión en General

Las relaciones similares a las ecuaciones (11.3.8,11.3.9 y 11.3.10) son válidas para una línea de transmisión construida con conductores de forma arbitraria. En el caso general es conveniente describir las propiedades de una línea sin pérdidas en términos de la inductancia por unidad de longitud, L Henries/m, y la capacitancia por unidad de longitud,

Figura\(\PageIndex{6}\): Diagrama esquemático de una línea de transmisión general. La línea se caracteriza por una inductancia por unidad de longitud, L henries/m, y una capacitancia por unidad de longitud, C farads/m.

C Farads/m. Se pueden escribir las ecuaciones de línea de transmisión apropiadas usando la teoría de circuitos ordinarios. Si la corriente en la línea cambia con el tiempo habrá una caída de voltaje al pasar de z a z+dz a lo largo de la línea, ver Figura 11.4.6). Esta caída en el potencial se debe a la inductancia de la línea. Se puede escribir

\[\text{dV}=-\text{Ldz}\left(\frac{\partial \text{I}}{\partial \text{t}}\right) . \nonumber\]

Así se deduce que

\[\frac{\partial \text{V}}{\partial \text{z}}=-\text{L}\left(\frac{\partial \text{I}}{\partial \text{t}}\right) .\label{11.22}\]

Si la diferencia de potencial entre los dos conductores en la línea de transmisión cambia con el tiempo, la corriente en z+dz será un poco menor que la corriente en z porque algo de corriente se deriva a través del acoplamiento capacitivo entre los electrodos. Por lo tanto

\[\text{d} \text{I}=-\text{Cdz}\left(\frac{\partial \text{V}}{\partial \text{t}}\right) ,\nonumber \]

o

\[\frac{\partial \text{I}}{\partial \text{z}}=-\text{C}\left(\frac{\partial \text{V}}{\partial \text{t}}\right) .\label{10.23}\]

Observe la similitud en forma entre las Ecuaciones (\ ref {11.22} y\ ref {11.23}) y Ecuaciones (11.2.1 y 11.2.2). Las dos ecuaciones anteriores se pueden combinar para dar

\ [\ begin {align}
\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {V}} {\ parcial\ texto {z} ^ {2}} &=-\ texto {L}\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {I}} {\ parcial\ texto {t}\ parcial\ texto {z}} =\ texto {L}\ texto {C}\ frac\ parcial^ {2}\ texto {V}} {\ parcial\ texto {t} ^ {2}}\ etiqueta {11.24}\
\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {I}} {\ parcial\ texto {z} ^ {2}} &=-\ texto {C}\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {V}} {\ parcial\ texto {t}\ parcial\ texto {z}} =\ texto {L}\ texto {C}\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {I}} {\ parcial\ texto {t} ^ {2}}\ nonumber
\ end align {}\]

Observe que estas ecuaciones tienen la misma forma que las Ecuaciones (11.3.8). De esta similitud se deduce que

\[\text{LC}=\frac{1}{\text{v}^{2}} \nonumber\]

o

\[ \text{v}^{2}=\frac{1}{\text{LC}}. \label{11.25}\]

La velocidad de propagación a lo largo de la línea de transmisión es independiente de la geometría de la línea y está determinada únicamente por la constante dieléctrica y la permeabilidad del medio que transporta los campos eléctricos y magnéticos que caracterizan la perturbación de propagación. Para un medio uniforme

\[\text{v}^{2}=\frac{1}{\epsilon \mu} . \nonumber \]

De esto se desprende, más la Ecuación (\ ref {11.25}), que

\[\text{LC}=\epsilon \mu , \label{11.26}\]

una relación que no es obvia a priori. También se deduce de las ecuaciones (\ ref {11.22} y\ ref {11.23}) que la impedancia característica de la línea viene dada por

\[\text{Z}_{0}=\text{L} \text{v}=\frac{1}{\text{Cv}}=\sqrt{\frac{\text{L}}{\text{C}}} .\label{11.27}\]

La impedancia característica depende de la geometría de la línea de transmisión.

Quizás valga la pena enfatizar la imagen física de la manera en que se propaga un pulso de carga a lo largo de una línea de transmisión, ver Figura (11.4.7). En la Figura (11.4.7) el electrodo superior tiene un potencial positivo con respecto al electrodo inferior en la región donde se encuentra el parche de carga. El campo eléctrico es terminado por un parche de carga en cada superficie de electrodo metálico: esta carga es de un signo en el electrodo superior y de signo opuesto encendido

Figura\(\PageIndex{7}\): Pulsos propagándose a lo largo de una línea de transmisión. (a) Un pulso que avanza hacia adelante. b) Un pulso que se mueve hacia atrás.

el otro electrodo como se muestra esquemáticamente en la Figura (11.4.7). Los parches de carga se mueven hacia abajo por la línea con la velocidad v característica de la velocidad de onda en el medio entre los electrodos. En cualquier sección de la línea la corriente en cualquiera de los electrodos es cero hasta que llega el parche de carga. La corriente es la velocidad a la que la carga se transporta más allá de un punto en particular, por lo tanto, la corriente en algún punto del electrodo es el producto de la velocidad y la densidad de carga por unidad de longitud de línea. Se desprende de la Figura (11.4.7 (a)), que representa un pulso de voltaje positivo moviéndose hacia la derecha, que la corriente en el electrodo superior será positiva, mientras que el pulso de corriente transportado por el electrodo inferior será negativo porque la carga negativa está fluyendo de izquierda a derecha. Del mismo modo, si el pulso se mueve de derecha a izquierda el flujo de corriente en el conductor superior será negativo porque las cargas positivas están fluyendo en la dirección z negativa. Al mismo tiempo, la corriente en el electrodo inferior es positiva porque las cargas negativas fluyen de derecha a izquierda. Para un pulso de voltaje positivo que se mueve de izquierda a derecha se adopta la convención de que el pulso de corriente asociado es positivo. Para un pulso de voltaje positivo que se mueve de derecha a izquierda se adopta la convención de que el pulso de corriente asociado es negativo.