11.5: Una Línea Terminada

Cualquier discontinuidad en las propiedades de una línea de transmisión da como resultado un pulso reflejado y un pulso transmitido cuyas amplitudes son menores que la amplitud del pulso original. Para ver cómo se produce esto, considere algunos casos simples

(i) Dos pulsos de idéntica forma, pero imágenes especulares, se propagan uno hacia el otro en una línea infinita, Figura (11.5.8 (a)). El experimento se configura para que los pulsos colisionen en z=0. Las ecuaciones de Maxwell son lineales, y asumimos que la respuesta dieléctrica y magnética del material del que está hecha la línea también es lineal. Para la respuesta lineal, la diferencia de potencial total en cualquier punto es solo la suma de las diferencias de potencial asociadas a los dos pulsos; de manera similar, la corriente en cualquier punto de la línea es la suma de las corrientes en los pulsos individuales. En particular, en z=0 donde chocan los dos pulsos la corriente es cero! Los pulsos pasan entre sí sin interactuar. Durante el tiempo de superposición, el voltaje en z=0 será el doble de grande que lo sería para un solo pulso. El sistema de dos pulsos que se muestra en la Figura (11.5.8) satisface las condiciones límite en z=0 para una línea abierta, es decir, I=0. De esto se puede deducir que un observador colocado a la izquierda del punto z=0 no pudo distinguir entre un experimento en el que se inyecta un solo pulso en una línea que está abierta (es decir, terminada por un circuito abierto) en z=0 o un experimento en el que se inyectan dos pulsos de imagen especular en un línea infinita desde direcciones opuestas.

Otra forma de obtener este resultado parte de las expresiones generales para el voltaje y la corriente en una línea de transmisión,

\[\text{V}(\text{z}, \text{t})=\text{F}(\text{z}-\text{vt})+\text{G}(\text{z}+\text{vt}) ,\nonumber \]

y

\[\text{I}(\text{z}, \text{t})=\text{F}(\text{z}-\text{vt}) / \text{Z}_{0}-\text{G}(\text{z}+\text{vt}) / \text{Z}_{0} . \nonumber \]

La corriente debe ser cero para todo momento en un circuito abierto, es decir, en ese punto de la línea

\[\text{I}=0=(\text{F}-\text{G}) / \text{Z}_{0} . \nonumber \]

De esto se deduce que en el circuito abierto F=G para todo momento, y por lo tanto el pulso reflejado en cualquier momento, G (z+vt), debe ser la imagen especular del pulso incidente F (z-vt) donde se ubica el espejo en la posición del circuito abierto.

Figura\(\PageIndex{8}\): Pulsos en una línea de transmisión infinita. a) Antes de la colisión. b) Después de la colisión.

Figura\(\PageIndex{9}\): Pulsos en una línea de transmisión infinita. a) Antes de la colisión. b) Después de la colisión.

(ii) Dos pulsos de idéntica forma, pero un pulso es una imagen especular del otro y se invierte como se muestra en la Figura (11.5.9), se lanzan uno hacia el otro en una línea infinita. Chocan en z=0. Debido a que el sistema es lineal los pulsos simplemente pasan uno a través del otro sin interactuar de ninguna manera. En este caso la diferencia de potencial en z=0 siempre permanece igual a cero porque los dos pulsos de voltaje se cancelan entre sí. Por otro lado, los dos pulsos de corriente se suman, de manera que a z=0 la corriente se vuelve el doble de grande que lo sería para el paso de un solo pulso. Por lo tanto, estos dos pulsos de propagación de contador satisfacen las condiciones límite en z=0 requeridas para un cortocircuito, es decir, en z=0 uno tiene R=V/I=0. De este experimento pensativo podemos deducir que un pulso se invierte al reflexionar desde el final de una línea acortada.

El principio ilustrado por estos dos ejemplos puede extenderse para cubrir el caso de una línea terminada por una resistencia arbitraria R Ohmios. Deje que el pulso incidente tenga una amplitud V ₀ Volts. Deje que la amplitud del pulso reflejado sea V _R Voltios. Las corrientes correspondientes son I ₀ = V ₀ /Z ₀ e I _R = −V _R /Z ₀; esta última corriente es negativa porque el pulso se propaga de derecha a izquierda. Supongamos que los pulsos chocan en z=0. En z=0 uno tiene, por superposición,

\[ \text{V}=\text{V}_{0}+\text{V}_{\text{R}}\nonumber \]

y

\[ \text{I}=\text{I}_{0}+\text{I}_{\text{R}}=\frac{\text{V}_{0}}{\text{Z}_{0}}-\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\text{Z}_{0}}.\nonumber \]

Pero requerimos R=V/I en el punto z=0. Por lo tanto

\[\text{R}=\text{Z}_{0}\left(\frac{\text{V}_{0}+\text{V}_{\text{R}}}{\text{V}_{0}-\text{V}_{\text{R}}}\right) .\nonumber \]

Esta ecuación se puede resolver con el fin de encontrar la amplitud del pulso reflejado y el coeficiente de reflexión, ρ = V _R /V ₀:

\[\rho=\left(\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\text{V}_{0}}\right)=\frac{\left(\left(\text{R} / \text{Z}_{0}\right)-1\right)}{\left(\left(\text{R} / \text{Z}_{0}\right)+1\right)} . \label{11.28}\]

Los dos casos explícitamente tratados anteriormente están contenidos en la Ecuación (\ ref {11.28}) como casos limitantes: si R → ∞ entonces ρ → +1, y el pulso de voltaje se refleja sin un cambio en la amplitud y sin cambio en el signo; si R → 0 entonces ρ → −1, y el pulso de voltaje se refleja sin un cambio en la amplitud sino el pulso se invierte. Por otro lado, si R = Z ₀ no hay pulso reflejado porque ρ = 0: el pulso es completamente absorbido por la resistencia terminadora. Una línea terminada por una resistencia igual a la impedancia característica de la línea parece una línea infinita al generador.

Este método para tratar una discontinuidad en la línea se puede extender para tratar una terminación capacitiva o inductiva. En un condensador se requiere

\[\text{Q}=\text{CV} \nonumber \]

o

\[\text{I}=\frac{\text{d} \text{Q}}{\text{dt}}=\text{C} \frac{\text{d} \text{V}}{\text{dt}} .\nonumber \]

Pero I = I ₀ + I _R y V = V ₀ + V _R, para que

\[ \text{I}_{0}+\text{I}_{\text{R}}=\frac{\text{V}_{0}}{\text{Z}_{0}}-\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\text{Z}_{0}}=\text{C}\left(\frac{\text{d} \text{V}_{0}}{\text{dt}}+\frac{\text{d} \text{V}_{\text{R}}}{\text{dt}}\right).\nonumber \]

Esta relación da una ecuación diferencial a partir de la cual V _R (t) puede calcularse a partir de la dependencia del tiempo conocida del pulso inicial V ₀ (t):

\[\frac{\text{d} \text{V}_{\text{R}}}{\text{dt}}+\left(\frac{1}{\text{CZ}_{0}}\right) \text{V}_{\text{R}}=-\frac{\text{d} \text{V}_{0}}{\text{dt}}+\left(\frac{1}{\text{CZ}_{0}}\right) \text{V}_{0}(\text{t}) . \label{11.29}\]

Como ejemplo, considere un pulso rectangular incidente cuya dependencia del tiempo se muestra en la Figura (11.5.10). La derivada de un pulso rectangular consiste en dos impulsos muy agudos; un impulso se asocia con el borde de ataque en t=0 donde dV/dt = V ₀\(\delta\) (t), y el otro impulso se asocia con el borde de salida en t=T segundos donde dV/dt = −V ₀\(\delta\) (t − T). En el intervalo de tiempo de t=0 a t=T la amplitud de pulso reflejada en la terminación viene dada por (de la Ecuación (\ ref {11.29}))

\[\text{V}_{\text{R}}(\text{t})=\text{V}_{0}-2 \text{V}_{0} \exp (-\text{t} / \tau) ,\nonumber \]

donde\(\tau\) = CZ ₀. En t=0 el pulso de voltaje reflejado tiene la amplitud V _R = −V ₀: esto tiene sentido porque el condensador inicialmente no cargado parece un cortocircuito. El condensador se carga a una velocidad determinada por la constante de tiempo\(\tau\) = CZ ₀ hasta que el voltaje a través de él alcanza el valor 2V ₀: entonces parece un circuito abierto porque no puede aceptar más carga. Cuando el condensador está completamente cargado y se convierte en equivalente a un circuito abierto, la amplitud del pulso reflejada se vuelve igual a la amplitud del pulso incidente y la caída de potencial a través del condensador es V = V ₀ + V _R = 2V ₀. (Se ha supuesto que

Figura\(\PageIndex{10}\): Reflejo de un pulso rectangular desde el final de una línea de transmisión terminada por un condensador C Faradios. (a) El pulso de entrada más es derivado. b) El pulso de voltaje reflejado. Se supone que la duración del pulso de entrada es larga en comparación con la constante de decaimiento\(\tau\) = CZ ₀.

el ancho del pulso, T, es mucho más largo que la constante de tiempo\(\tau\) = CZ ₀). Al final del pulso incidente, t=T, el condensador, cargado a una diferencia de potencial de 2V ₀ Volts, simplemente se descarga en la línea con una constante de tiempo\(\tau\) = CZ ₀, y por lo tanto

\[\text{V}_{\text{R}}(\text{t})=2 \text{V}_{0} \exp (-[\text{t}-\text{T}] / \tau) \nonumber \]

para t ≥ T.

Se pueden usar argumentos similares para discutir una línea terminada por un inductor cuya resistencia es mucho menor que la impedancia característica, Z ₀. La caída de potencial a través de un inductor está relacionada con la corriente que pasa a través de él por la relación

\[ \text{V}=\text{L}\left(\frac{\text{dI}}{\text{dt}}\right). \label{11.30}\]

Pero en z=0 en el cable donde los pulsos se superponen

\[ \text{I}=\text{I}_{0}+\text{I}_{\text{R}}=\frac{\text{V}_{0}}{\text{Z}_{0}}-\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\text{Z}_{0}}, \nonumber \]

y

\[ \text{V}=\text{V}_{0}+\text{V}_{\text{R}}, \nonumber \]

donde V ₀ (t) es la amplitud del pulso incidente y V _R (t) es la amplitud correspondiente del pulso reflejado. De la condición límite Ecuación (\ ref {11.30}) se obtiene

\[\text{V}_{0}(\text{t})+\text{V}_{\text{R}}(\text{t})=\frac{\text{L}}{\text{Z}_{0}}\left(\frac{\text{d} \text{V}_{0}}{\text{dt}}-\frac{\text{d} \text{V}_{\text{R}}}{\text{dt}}\right) , \nonumber \]

o

\[ \frac{\text{d} \text{V}_{\text{R}}}{\text{dt}}+\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\tau}=\left(\frac{\text{d} \text{V}_{0}}{\text{dt}}\right)-\text{V}_{0} / \tau, \label{11.31} \]

donde\(\tau\) = L/Z ₀. Se conoce la variación de tiempo del pulso incidente en z=0 de manera que la Ecuación diferencial (\ ref {11.31}) se puede resolver para la variación de tiempo del pulso reflejado usando la condición de que V _R (t) sea idéntico cero para los tiempos antes de que el pulso incidente llegue a la terminación. Consideremos, como ejemplo, el pulso rectangular de duración T, mostrado en la Figura (11.5.11), donde la longitud del pulso T es mucho más larga que la constante de tiempo\(\tau\) = L/Z ₀. La derivada del pulso incidente es cero en todas partes excepto en t=0 donde _dV0 /dt = V ₀\(\delta\) (t), y en t=t donde _dV0 /dt = −V ₀\(\delta\) (t − T). Estos impulsos producen pasos en

Figura\(\PageIndex{11}\): Reflejo de un pulso rectangular desde el final de una línea de transmisión terminada por una inductancia L Henries. (a) El pulso de entrada más su derivada. (b) El pulso de voltaje reflejado, V _R. Se ha supuesto que la longitud del pulso de entrada es mucho mayor que la constante de tiempo\(\tau\) = L/Z ₀.

el voltaje reflejado, V _R, de +V ₀ a t=0 y de −V ₀ a t=t La amplitud del pulso reflejado en t=0 es +V ₀ porque inicialmente el inductor parece un circuito abierto ya que no hay flujo de corriente. Finalmente, la corriente a través del inductor se acumula hasta un valor de estado estacionario y la caída de voltaje a través del inductor se vuelve cero; en este punto el inductor parece un cortocircuito de modo que la amplitud del pulso de voltaje reflejado es V _R = -V ₀. La variación de tiempo del pulso de voltaje reflejado es

\[\text{V}_{\text{R}}(\text{t})=2 \text{V}_{0} \exp (-\text{t} / \tau)-\text{V}_{0}, \nonumber \]

para 0 < t ≤ T. Inmediatamente después de t=t segundos el pulso de accionamiento se ha convertido en cero, por lo que la energía almacenada en el inductor decae en la línea de transmisión a una velocidad determinada por la inductancia y la impedancia característica, Z ₀:

\[ \text{V}_{\text{R}}(\text{t})=-2 \text{V}_{0} \exp (-[\text{t}-\text{T}] / \tau), \nonumber \]

para t ≥ T. El pulso reflejado tiene un voltaje negativo porque debido a que el colapso del campo magnético en la bobina inductora opera para mantener un flujo de corriente positivo. En un pulso reflejado se asocia un flujo de corriente positiva con un voltaje negativo.

Los métodos anteriores se pueden extender para tratar una línea de transmisión terminada por una impedancia arbitraria.