2.2A: Carga puntual
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Asignemos arbitrariamente el valor cero al potencial a una distancia infinita de una carga puntual\(Q\). “El” potencial a una\(r\) distancia de esta carga es entonces el trabajo requerido para mover una carga positiva unitaria desde el infinito a una distancia\(r\).
A una distancia x de la carga, la intensidad de campo es\(\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 x^2}\). El trabajo requerido para mover un cargo unitario de\(x \text{ to }x + δx\) es\(-\frac{Q\,\delta x}{4\pi\epsilon_0 x^2}\). El trabajo requerido para mover la carga de la unidad de\(r\) hasta el infinito es\(-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\int_r^{\infty}\frac{dx}{x^2}=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}\). El trabajo requerido para mover la carga de la unidad desde el infinito hasta\(r\) es menos esto.
Por lo tanto
\[V=+\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}.\label{2.2.1}\]
La energía potencial mutua de dos cargas\(Q_1 \text{ and }Q_2\) separadas por una distancia\(r\) es el trabajo requerido para llevarlas a esta distancia aparte de una separación infinita original. Esto es
\[P.E.=+\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2}\label{2.2.2}.\]
Antes de continuar, un poco de revisión está en regla.
Campo a una distancia\(r\) de una carga\(Q\):
\[E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2},\quad \quad \text{N C}^{-1} \text{ or } \text{V m}^{-1}\]
o, en forma de vector,
\[\textbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\textbf{r}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^3}\textbf{r}. \quad \quad \text{N C}^{-1}\text{ or }\text{V m}^{-1}\]
Fuerza entre dos cargas,\(Q_1 \text{ and }Q_2\):
\[F=\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon r^2}.\quad \quad \text{N}\]
Potencial a una\(r\) distancia de una carga\(Q\):
\[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}.\quad \quad \text{V}\]
Energía potencial mutua entre dos cargas:
\[\text{P.E.}=\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 r}.\quad \quad \text{J}\]
No podríamos equivocarnos con ninguno de estos, ¿verdad?