2.2B: Distribuciones de carga esféricas

Fuera de cualquier distribución de carga esféricamente simétrica, el campo es el mismo que si toda la carga estuviera concentrada en un punto en el centro, y así, entonces, es el potencial. Así

\[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}.\tag{2.2.3}\]

Dentro de una concha esférica hueca de radio a y llevando una carga\(Q\) el campo es cero, y por lo tanto el potencial es uniforme en todo el interior, e igual al potencial en la superficie, que es

\[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 a}.\tag{2.2.4}\]

Una esfera sólida de radio a portar una carga\(Q\) que se distribuye uniformemente por toda la esfera es más fácil de imaginar que de lograr en la práctica, pero, por lo que sabemos, un protón podría ser así (podría ser — ¡pero no lo es!) , así que calculemos el campo en un punto P dentro de la esfera a una\((r < a)\) distancia del centro. Ver Figura\(II.1\)

Esto lo podemos hacer en dos partes. Primero el potencial de la parte de la esfera “debajo” P. Si la carga se distribuye uniformemente por toda la esfera, esto es justo\(\frac{Q_r}{4\pi\epsilon_0 r}\). Aquí\(Q_r\) está la carga contenida dentro del radio\(r\), que, si la carga se distribuye uniformemente por toda la esfera, es\(Q(r^3/a^3)\). Así, esa parte del potencial lo es\(\frac{Qr^2}{4\pi\epsilon_0 a^3}\).

\(\text{FIGURE II.1}\)

A continuación, calculamos la contribución al potencial a partir de la carga “por encima” P. Consideremos un caparazón elemental de radios\(x ,\, x + δx\). El cargo que tiene es\(\delta Q = \frac{4\pi x^2 \delta x}{\frac{4}{3}\pi a^3}\times Q=\frac{3Qx^2 \delta x}{a^3}\). La contribución al potencial en P de la carga en este caparazón elemental es\(\frac{\delta Q}{4\pi\epsilon_0 x}=\frac{3Qx\delta x}{4\pi\epsilon_0 a^3}\). El aporte al potencial de todo el cargo “por encima” P es\(\frac{3Q}{4\pi\epsilon_0 a^3}\int_r^a x\,dx=\frac{3Q(a^2-r^2)}{4\pi\epsilon_0 2a^3}\). Sumando las dos partes del potencial, obtenemos

\[V=\frac{Q}{8\pi\epsilon_0 a^3}(3a^2-r^2).\tag{2.2.5}\]