2.4: Una carga puntual y un plano conductor infinito
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Una placa de metal plano infinito está en el\(xy\) plano. Una carga puntual +\(Q\) se coloca en el\(z\) eje -a una altura\(h\) por encima de la placa. En consecuencia, los electrones serán atraídos hacia la parte de la placa inmediatamente debajo de la carga, de manera que la placa portará una densidad de carga negativa\(σ\) que es mayor en el origen y que cae con la\(\rho\) distancia del origen. ¿Podemos determinar\(σ(\rho)\)? Ver Figura\(II.2\)
\(\text{FIGURE II.2}\)
Primero, tenga en cuenta que la superficie metálica, al ser un conductor, es una superficie equipotencial, como lo es cualquier superficie metálica. El potencial es uniforme en cualquier parte de la superficie. Ahora supongamos que, en lugar de la superficie metálica, teníamos (además de la carga +\(Q\) a una altura\(h\) por encima del\(xy\) -plano), una segunda carga puntual, −\(Q\), a una distancia\(h\) por debajo del\(xy\) -plano. El potencial en el\(xy\) plano sería, por simetría, uniforme en todas partes. Es decir que el potencial en el\(xy\) plano es el mismo que en el caso de la carga de un solo punto y la placa metálica, y de hecho el potencial en cualquier punto por encima del plano es el mismo en ambos casos. Para el propósito de calcular el potencial, podemos reemplazar la placa metálica por una imagen de la carga puntual. Es fácil calcular el potencial en un punto\((z , \rho)\). Si suponemos que la permitividad por encima de la placa es\(\epsilon_0\), el potencial a\((z , \rho)\) es
\[\label{2.4.1}V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \frac{1}{[\rho^2+(h-z)^2]^{1/2}}-\frac{1}{[\rho^2+(h+z)^2]^{1/2}}\right )\]
La intensidad de campo\(E\) en el\(xy\) -plano es-\(∂V/ ∂z\) evaluada en\(z = 0\), y esto es
\[\label{2.4.2}E=-\frac{2Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{h}{(\rho^2+h^2)^{3/2}}.\]
El\(D\) -campo es\(\epsilon_0\) veces esto, y dado que todas las líneas de fuerza están por encima de la placa metálica, el teorema de Gauss establece que la densidad de carga es\(σ = D\), y por lo tanto la densidad de carga es
\[\label{2.4.3}\sigma=-\frac{Q}{2\pi}\cdot \frac{h}{(\rho^2+h^2)^{3/2}}.\]
Esto también se puede escribir
\[\label{2.4.4}\sigma = -\frac{Q}{2\pi}\cdot \frac{h}{ξ^3},\]
donde\(ξ^2=\rho^2+h^2\), con obvia interpretación geométrica.
Ejercicio: ¿Cuánta carga hay en la superficie de la placa dentro de un anillo delimitado por radios\(\rho\) y\(\rho + d\rho\)? Integre esto de cero a infinito para mostrar que la carga total inducida en la placa es −\(Q\).