2.5: Una carga puntual y una esfera conductora
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\(\text{FIGURE II.3}\)
Una carga puntual +\(Q\) está a una distancia\(R\) de una esfera metálica de radio\(a\). Vamos a tratar de calcular la densidad de carga superficial inducida en la superficie de la esfera, en función de la posición sobre la superficie. Debemos tener en cuenta que la superficie de la esfera es una superficie equipotencial, y tomaremos el potencial en la superficie para que sea cero.
Primero construyamos un punto I tal que los triángulos OPI y PQO sean similares, con las longitudes mostradas en la Figura\(II\) .3. La longitud OI es\(a^2 /R\). Entonces\(R/ξ = a/ζ\), o
\[\label{2.5.1}\dfrac{1}{ξ}-\dfrac{a/R}{ζ}=0\]
Esta relación entre las variables\(ξ \text{ and }ζ\) es en efecto la ecuación a la esfera expresada en estas variables.
Ahora supongamos que, en lugar de la esfera metálica, teníamos (además de la carga +\(Q\) a una\(R\) distancia de O), una segunda carga puntual −\((a/R) Q\text{ at }I\). El lugar de los puntos donde el potencial es cero es donde
\[\label{2.5.2}\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{1}{ξ}-\dfrac{a/R}{ζ}\right ) = 0\]
Es decir, la superficie de nuestra esfera. Así, a efectos de calcular el potencial, podemos sustituir la esfera metálica por una imagen de\(Q\) at\(I\), esta imagen portando una carga de\(−(a/R)Q\).
Tomemos la línea OQ como\(z\) eje -eje de un sistema de coordenadas. \(X\)Sea algún punto tal que OX =\(r\) y el ángulo XOQ=\(θ\). El potencial en P de una carga +\(Q\) at\(Q\) y una carga −\((a/R)Q\) at\(I\) es (ver Figura\(II\) .4)
\(\text{FIGURE II.4}\)
\[\nonumber V=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left (\dfrac{1}{(r^2+R^2-2rR\cos \theta)^{1/2}}-\dfrac{a/R}{(r^2+a^/R^2 -2a^2r\cos \theta /R)^{1/2}}\right )\]
El campo E en la superficie de la esfera se\(−∂V / ∂r\) evalúa en\(r = a\). El\(D\) campo es\(\epsilon_0\) veces esto, y la densidad de carga superficial es igual a\(D\). Después de un poco de paciencia y álgebra, obtenemos, por un punto\(X\) en la superficie de la esfera
\[\label{2.5.3}\sigma = -\dfrac{Q}{4\pi}\dfrac{R^2-a^2}{a}\cdot \dfrac{1}{(XQ)^3}\]