3.5: Fuerza sobre un dipolo en un campo eléctrico no homogéneo
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\(\text{FIGURE III.4}\)
Considera un dipolo simple que consta de dos cargas\(+Q\) y\(-Q\) separado por una distancia\(δx\), de manera que su momento dipolar sea\(p = Q\, δx\). Imagínese que está situado en un campo eléctrico no homogéneo como se muestra en la Figura\(III\) .4. Ya hemos señalado que un dipolo en un campo homogéneo no experimenta fuerza neta, pero podemos ver que sí experimenta una fuerza neta en un campo no homogéneo. Deje que el campo en\(−Q \text{ be }E\) y el campo en\(+Q \text{ be }E + δE\). La fuerza\(−Q \text{ is }QE\) a la izquierda y la fuerza\(+Q \text{ is }Q(E + δE)\) a la derecha. Así, existe una fuerza neta a la derecha de\(Q\, δE\), o:
\[\label{3.5.1}\text{Force}=p\frac{dE}{dx}\]
La ecuación\ ref {3.5.1} describe la situación en la que el dipolo, el campo eléctrico y el gradiente son todos paralelos al eje x. En una situación más general, los tres están en diferentes direcciones. Recordemos que el campo eléctrico es menos gradiente de potencial. El potencial es una función escalar, mientras que el campo eléctrico es una función vectorial con tres componentes, de los cuales el componente x, por ejemplo, lo es\(E_x=-\frac{∂V}{∂x}\). El gradiente de campo es un tensor simétrico que tiene nueve componentes (de los cuales, sin embargo, solo seis son distintos), como\(\frac{∂^2V}{ ∂x^2},\,\frac{ ∂^2V}{ ∂y ∂z}\) etc. Así, en general, la Ecuación\ ref {3.5.1} tendría que escribirse como
\[\begin{pmatrix}E_x \\ E_y \\ E_z \\ \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}V_{xx} & V_{xy} & V_{xz} \\ V_{xy} & V_{yy} & V_{yz} \\ V_{xz} & V_{yz} & V_{zz} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_x \\ p_y \\ p_z \\ \end{pmatrix}\label{3.5.2}\]
en el que los subíndices dobles en el tensor de gradiente potencial denotan las segundas derivadas parciales.