3.6: Dipolos Inducidos y Polarizabilidad

Señalamos en la sección 1.3 que una varilla cargada atraerá una bola de médula no cargada, y en ese momento dejamos esto como un pequeño misterio sin resolver. Lo que sucede es que la varilla induce un momento dipolo en la bola de médula no cargada, y la bola de médula, que ahora tiene un momento dipolo, es atraída en el campo no homogéneo que rodea a la varilla cargada.

¿Cómo se puede inducir un momento dipolar en un cuerpo sin carga? Bueno, si el cuerpo sin carga es metálico (como en el electroscopio de pan de oro), es bastante fácil. En un metal, hay numerosos electrones libres, no unidos a ningún átomos en particular, y son libres de deambular dentro del metal. Si se coloca un metal en un campo eléctrico, los electrones libres son atraídos hacia un extremo del metal, dejando un exceso de carga positiva en el otro extremo. Así se induce un momento dipolar.

¿Qué pasa con un no metal, que no tiene electrones libres desunidos a los átomos? Puede ser que las moléculas individuales en el material tengan momentos dipolares permanentes. En ese caso, la imposición de un campo eléctrico externo ejercerá un par sobre las moléculas, y hará que todos sus momentos dipolares se alineen en la misma dirección, y así el material a granel adquirirá un momento dipolar. La molécula de agua, por ejemplo, tiene un momento dipolar permanente, y estos dipolos se alinearán en un campo externo. Es por ello que el agua pura tiene una constante dieléctrica tan grande.

Pero, ¿y si las moléculas no tienen un momento dipolo permanente, o qué pasa si lo hacen, pero no pueden rotar fácilmente (como bien puede ser el caso en un material sólido)? El material a granel aún puede polarizarse, debido a que se induce un momento dipolar en las moléculas individuales, los electrones dentro de la molécula tienden a ser empujados hacia un extremo de la molécula. O una molécula como\(\text{CH}_4\), que es simétrica en ausencia de un campo eléctrico externo, puede distorsionarse de su forma simétrica cuando se coloca en un campo eléctrico, y con ello adquirir un momento dipolar.

Así, de una forma u otra, la imposición de un campo eléctrico puede inducir un momento dipolar en la mayoría de los materiales, sean o no conductores de electricidad, o que sus moléculas tengan o no momentos dipolares permanentes.

Si dos moléculas se acercan entre sí en un gas, los electrones en una molécula repelen a los electrones en la otra, de manera que cada molécula induce un momento dipolar en la otra. Las dos moléculas luego se atraen entre sí, porque cada molécula dipolar se encuentra en el campo eléctrico no homogéneo de la otra. Este es el origen de las fuerzas de van der Waals.

Algunos cuerpos (estoy pensando en moléculas individuales en particular, pero esto no es necesario) se polarizan más fácilmente que otros por la imposición de un campo externo. La relación entre el momento dipolo inducido y el campo aplicado se denomina polarizabilidad\(α\) de la molécula (o cualquier cuerpo que tengamos en mente). Así

\[\textbf{p}=\alpha \textbf{E}\label{3.6.1}\]

La unidad SI para\(α\) es C m\((\text{V m}^{−1} )^{ −1}\) y las dimensiones son\(\text{M}^{−1} \text{T}^ 2\text{Q}^ 2\).

Este breve relato, y la apariencia general de la Ecuación\ ref {3.6.1}, sugiere que\(\textbf{p} \text{ and }\textbf{E}\) están en la misma dirección — pero esto es así solo si las propiedades eléctricas de la molécula son isotrópicas. Quizás la mayoría de las moléculas —y, especialmente, las moléculas orgánicas largas— tienen polarizabilidad anisotrópica. Así, una molécula puede ser fácil de polarizar con un campo en la dirección x, y mucho menos fácil en las direcciones y o z. Así, en la Ecuación\ ref {3.6.1}, la polarizabilidad es realmente un tensor simétrico, no\(\textbf{p} \text{ and }\textbf{E}\) son en general paralelos, y la ecuación, escrita en su totalidad, es

\[\label{3.6.2}\begin{pmatrix}p_x \\ p_y \\ p_z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{xx} & \alpha_{xy} & \alpha_{xz} \\ \alpha_{xy} & \alpha_{yy} & \alpha_{yz} \\ \alpha_{xz} & \alpha_{yz} & \alpha_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_x \\ E_y \\ E_z \\ \end{pmatrix}\]

(A diferencia de la ecuación 3.5.2, los subíndices dobles no pretenden indicar segundas derivadas parciales; más bien son solo los componentes del tensor de polarizabilidad). Al igual que en varias situaciones análogas en diversas ramas de la física (véase, por ejemplo, la sección 2.17 de Mecánica Clásica y el tensor de inercia) existen tres direcciones mutuamente ortogonales (los vectores propios del tensor de polarizabilidad) para las cuales\(\textbf{p} \text{ and }\textbf{E}\) serán paralelas.