3.10: Un ejemplo geofísico

Supongamos que el planeta Tierra es esférico y que tiene un pequeño imán o bucle de corriente en su centro. Por “poco” me refiero a pequeño comparado con el radio de la Tierra. Supongamos que, a una gran distancia del imán o bucle de corriente la geometría del campo magnético es la misma que la de un campo eléctrico a gran distancia de un simple dipolo. Es decir, la ecuación a las líneas de fuerza es

\[r=a\sin^2 \theta \]

y la ecuación diferencial a las líneas de fuerza es

\[\frac{dr}{dθ} = \frac{2r}{tan \theta}\]

Demostrar que el ángulo de inmersión\(D\) en la latitud geomagnética\(L\) viene dado por

\[\tan D = 2\tan L \label{3.10.1}\]

La geometría se muestra en la Figura\(III\) .16.

El resultado es sencillo, y probablemente haya una forma más sencilla de obtenerlo que la que probé. Avísame ([e-mail]) si encuentras una manera más sencilla. Mientras tanto, aquí está mi solución.

Voy a tratar de encontrar la pendiente\(m_1\) de la tangente a la Tierra (es decir, del horizonte) y la pendiente\(m_2\) de la línea de fuerza. Entonces el ángulo D entre ellos vendrá dado por la ecuación (¡que espero que sea bien conocida por la geometría de coordenadas!)

\[\tan D = \frac{m_1 -m_2}{1+m_1m_2}. \label{3.10.2}\]

El primero es fácil:

\[m_1=\tan (90^\circ + \theta ) = -\frac{1}{\tan \theta}\label{3.10.3}\]

Porque\(m_2\) queremos encontrar la pendiente de la línea de fuerza, cuya ecuación se da en coordenadas polares. Entonces, ¿cómo encuentra la pendiente de una curva cuya ecuación se da en coordenadas polares? Podemos hacerlo así:

\[\begin{align} x&=r\cos \theta \label{3.10.4}, \\ y&=r\sin \theta \label{3.10.5}, \\ dx&=\cos \theta dr - r\sin \theta d\theta \label{3.10.6}, \\ dy&=\sin \theta dr + r\cos \theta d\theta . \label{3.10.7} \\ \end{align}\]

De estos, obtenemos

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\sin \theta \frac{dr}{d\theta}+r\cos \theta }{\cos \theta \frac{dr}{d\theta}-r\sin \theta }.\label{3.10.8} \]

En nuestro caso particular, tenemos\(\frac{dr}{d\theta}=\frac{2r}{\tan \theta}\) (ecuación 3.7.12), así que si sustituimos esto en Ecuación pronto\(\ref{3.10.8}\) obtenemos

\[m_2 = \frac{3\sin \theta \cos \theta}{3\cos^2 \theta -1}.\label{3.10.9} \]

Ahora pon Ecuaciones\ ref {3.10.3} y\ ref {3.10.9} en la ecuación 3.10.2, y, después de un poco de álgebra, pronto obtenemos

\[\tan D = \frac{2}{\tan \theta}=2\tan L . \label{3.10.10}\]

Aquí hay otra pregunta. Al campo magnético generalmente se le da el símbolo\(B\). Demostrar que la fuerza del campo magnético\(B(L)\) en la latitud geomagnética\(L\) viene dada por

\[B(L) = B(0)\sqrt{1+3\sin^2 L } ,\label{3.10.11} \]

donde\(B(0)\) está la fuerza del campo en el ecuador. Esto significa que es dos veces más fuerte en los polos magnéticos que en el ecuador.

Comienza con la ecuación 3.7.2, que da el campo eléctrico en un punto distante en el ecuador de un dipolo eléctrico. Esa ecuación fue\(E=\frac{p}{4\pi\epsilon_0 y^3}\). En este caso nos encontramos ante un campo magnético y un dipolo magnético, por lo que reemplazaremos el campo\(E\) eléctrico por un campo magnético\(B\). También\(p/(4π\epsilon_0)\) es una combinación de cantidades eléctricas, y como nos interesa sólo la geometría (es decir, en cómo\(B\) varía de ecuación a polo, solo escribamos\(p/(4\pi\epsilon_0 )\) como\(k\). Y tomaremos el radio de la Tierra para ser\(R\), así que esa ecuación 3.7.2 da para el campo magnético en la superficie de la Tierra en el ecuador como

\[B(0) = \frac{k}{R^3}. \label{3.10.12} \]

En una línea similar, las ecuaciones 3.7.10 para los componentes radial y transversal del campo en latitud geomagnética\(L\) (que es 90º −\(θ\)) se convierten en

\[B_r ( L) = \frac{2k\sin L}{R^3} \quad \text{and} \quad B_{\theta}(L)=\frac{k\cos L}{R^3}. \label{3.10.13a,b}\]

Y ya que\(B=\sqrt{B_r^2 + B_{\theta}^2}\) el resultado inmediatamente sigue.