3.9: Potencial a una gran distancia de un cuerpo cargado

Deseamos encontrar el potencial en un punto P a gran\(R\) distancia de un cuerpo cargado, en términos de su carga total y su dipolo, cuadrupolo, y posiblemente momentos de orden superior. No habrá pérdida de generalidad si elegimos un conjunto de ejes tal que P esté en el\(z\) eje -eje.

\(\text{FIGURE III.14}\)

Nos referimos a la Figura\(III\) .14, y consideramos un elemento de volumen\(δτ\) a una distancia r de algún origen. El punto P se encuentra a una distancia r del origen y a una distancia\(∆ \text{ from }δτ\). El potencial en P de la carga en el elemento\(δτ\) viene dado por

\[4\pi\epsilon_0 \delta V = \dfrac{\rho \delta \tau }{\Delta} = \dfrac{\rho}{R}\left ( 1+\dfrac{r^2}{R^2}-\dfrac{2r}{R}\cos \theta \right )^{-1/2}\delta \tau ,\]

y así el potencial de la carga en todo el cuerpo viene dado por

\[4\pi\epsilon_0 V =\dfrac{1}{R} \int \rho \left ( 1+\dfrac{r^2}{R^2} -\dfrac{2r}{R}\cos \theta \right )^{-1/2}\delta \tau .\]

Al expandir los paréntesis por el teorema binomial, encontramos, después de un pequeño problema, que esto se convierte en

\[4\pi\epsilon_0 V = \dfrac{1}{R}\int \rho \,d\tau + \dfrac{1}{R^2}\int \rho r P_1 (\cos \theta)\,d\tau + \dfrac{1}{2!R^3}\int \rho r^2 P_2 (\cos \theta)]\, d\tau + \dfrac{1}{3!R^4}\int \rho r^3 P_3 (\cos \theta )\,d\tau + ... , \]

donde los polinomios P son los polinomios de Legendre dados por

\[\begin{align}P_1 (\cos \theta ) &= \cos \theta \\ P_2(\cos \theta) &= \dfrac{1}{2}(3\cos^2 \theta -1 ), \\ P_3(\cos \theta)&=\dfrac{1}{2}(5\cos^3 \theta - 3\cos \theta ). \\ \end{align}\]

Vemos a partir de las formas de estas integrales y de las definiciones de los componentes de los momentos dipolo y cuadrupolo que esto ahora se puede escribir:

\[4\pi\epsilon_0 V = \dfrac{Q}{R} + \dfrac{p}{R^2}+\dfrac{1}{2R^3}(3q_{zz}-Tr\textbf{q})+...,\label{3.9.7}\]

Aquí Tr q es la traza de la matriz de momento cuadrupolo, o la suma (invariante) de sus elementos diagonales. La ecuación\ ref {3.9.7} también se puede escribir

\[4\pi\epsilon_0V=\dfrac{Q}{R}+\dfrac{p}{R^2}+\dfrac{1}{2R^3}[2q_{zz}-(q_{xx}+q_{yy})]+... . \]

La cantidad\(2q_{zz}-(q_{xx}+q_{yy})\) de la matriz diagonalizada a menudo se conoce como “el” momento cuadrupolo. Es cero si los tres componentes diagonales son cero o si\(q_{zz}=\dfrac{1}{2}(q_{xx}+q_{yy})\). Si el cuerpo tiene simetría cilíndrica alrededor del\(z\) eje -eje, esto se vuelve\(2(q_{zz}-q_{xx})\).

.)

\(\text{FIGURE III.15}\)

La solución a este ejercicio es fácil si conoces los polinomios de Legendre. Ver Sección 1.14 de mis notas sobre Mecánica Celestial. Lo que hay que saber es que la expansión de se\((1-2ax+x^2)^{-1/2}\) puede escribir como una serie de polinomios de Legendre, a saber\(P_0(x)+xP_1(x)+x^2P_2(x)+...\). También necesitas una mesa (muy pequeña) de polinamiales Legendre, a saber\(P_0(x)=1,\,P_1(x)=x,\,P_2(x)=\dfrac{1}{2}(3x^2-1)\). Dado eso, deberías encontrar el ejercicio muy fácil.